求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 22:43:08

求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍求证：在任意三角形ABC

求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍
求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍

求证：在任意三角形ABC中,垂心O到顶点B的距离是三角形ABC的外心到边AC的距离的2倍
令△ABC的外心为G,过G作GD⊥AC交AC于D,再取AO的中点为E,取AB的中点为F.
∵BO⊥AC、GD⊥AC,∴GD∥BO.　∵AF＝BF、AE＝OE,∴FE∥BO.
由GD∥BO、FE∥BO,得：GD∥FE.
∵AF＝BF、G是△ABC的外心,∴GF⊥AB,又CO⊥AB,∴GF∥CO.
∵GD⊥AC,G是△ABC的外心,∴AD＝CD,又AE＝OE,∴DE∥CO.
由GF∥CO、DE∥CO,得：DE∥GF.
由GD∥FE、DE∥GF,得：GDEF是平行四边形,∴FE＝GD.
由AF＝BF、AE＝OE,得：BO＝2FE,∴BO＝2GD.　　证明完毕.

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