请证明：83的八十三次方减37的三十七次方能被10整除一道奥数题.请尽快解答.（请用同余解法）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 21:14:18
请证明：83的八十三次方减37的三十七次方能被10整除一道奥数题.请尽快解答.（请用同余解法）
请证明：83的八十三次方减37的三十七次方能被10整除
一道奥数题.请尽快解答.（请用同余解法）
请证明：83的八十三次方减37的三十七次方能被10整除一道奥数题.请尽快解答.（请用同余解法）
83^n的末位数为3,9,7,1.
83=4*20+3
所以83^83的末位数为7,即83^83被10除余7
37^n的末位数为7,9,3,1.
37=4*9+1
所以37^37的末位数为7,即37^37被10除余7
所以83^83≡37^37(mod 10)
所以10|(83^83-37^37)
1*3=3
3*3=9
9*3=27
7*3=21
1*3=3
……
可见3的四个次方一个循环依次是（3,9,7,1）。83，第17个循环的第3个，末位是7
1*7=7
7*7=49
9*7=63
3*7=21
1*7=7
可见7的四个次方一个循环依次是（7,9,3,1）。37，第10个循环的第1个，末...
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1*3=3
3*3=9
9*3=27
7*3=21
1*3=3
……
可见3的四个次方一个循环依次是（3,9,7,1）。83，第17个循环的第3个，末位是7
1*7=7
7*7=49
9*7=63
3*7=21
1*7=7
可见7的四个次方一个循环依次是（7,9,3,1）。37，第10个循环的第1个，末位是7
可见俩数的末位即个位都是7
…………你滴明白？
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看尾数83:3 9 7 1
以四为周期，一尾数为7
37:7 9 3 1
尾数也为7
这个题只要看个位数相减得到0即可，也就是83的八十三次方和37的三十七次方个位数相同
首先3的一次方，平方，立方，四次方。。个位数分别为3，9，7，1，3。。，也就是以4为周期，而83/4=20余3，故个位数字是7
而7的一次方，平方，立方，四次方。。个位数分别为7，9，3，1，7。。，也是以4为周期，而37/4=9余1，故个位数字也是7，
因此相减后最后一位一定是0，也就...
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这个题只要看个位数相减得到0即可，也就是83的八十三次方和37的三十七次方个位数相同
首先3的一次方，平方，立方，四次方。。个位数分别为3，9，7，1，3。。，也就是以4为周期，而83/4=20余3，故个位数字是7
而7的一次方，平方，立方，四次方。。个位数分别为7，9，3，1，7。。，也是以4为周期，而37/4=9余1，故个位数字也是7，
因此相减后最后一位一定是0，也就能被10整除
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注视最后一位数字。比如83，只看3。3的1次方是3，3的2次方是9。3的3次方是27，最后一位数是7。3的4次方的尾数是3*7=21=1。一直算下去，
3^(4n-3)的尾数=3
3^(4n-2)的尾数=9
3^(4n-1)的尾数=7
3^(4n)的尾数=1
37的位数是7，与上面用同一个步骤求出，
7^(4n-3)的尾数=7
7^(4n-2...
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注视最后一位数字。比如83，只看3。3的1次方是3，3的2次方是9。3的3次方是27，最后一位数是7。3的4次方的尾数是3*7=21=1。一直算下去，
3^(4n-3)的尾数=3
3^(4n-2)的尾数=9
3^(4n-1)的尾数=7
3^(4n)的尾数=1
37的位数是7，与上面用同一个步骤求出，
7^(4n-3)的尾数=7
7^(4n-2)的尾数=8
7^(4n-1)的尾数=3
7^(4n)的尾数=1
83^83尾数 - 37^37尾数
=3^83尾数 - 7^37尾数
=3^(4*21-1)尾数 - 3^(4*10-3)尾数
=7 - 7
=0
所以无论十位是什么，个位数（尾数）是零。所以是10的倍数。
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