请问：不定积分中原式∫1+3x^2/x2(1+x^2) 是怎么转换为=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)的呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:31:45
请问：不定积分中原式∫1+3x^2/x2(1+x^2) 是怎么转换为=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)的呢?
请问：不定积分中原式∫1+3x^2/x2(1+x^2) 是怎么转换为=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)的呢?
请问：不定积分中原式∫1+3x^2/x2(1+x^2) 是怎么转换为=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)的呢?
不定积分中原式∫(1+3x²)dx/[x²(1+x²)] 是怎么转换为=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)的呢?
因为(1+3x²)/[x²(1+x²)]=[(1+x²)+2x²]/[x²(1+x²)]=(1+x²)/[x²(1+x²)]+2x²/[x²(1+x²)=(1/x²)+2/(1+x²)
故∫(1+3x²)dx/[x²(1+x²)=∫(1/x²)dx+2∫dx/(1+x²)=-1/x+2arctanx+C
令(1 + 3x²)/[x²(1 + x²)] = A/x + B/x² + (Cx + D)/(1 + x²)
通分得：1 + 3x² = Ax(1 + x²) + B(1 + x²) + (Cx + D)x²
1 + 3x² = (A + C)x³ + (B + D)x...
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令(1 + 3x²)/[x²(1 + x²)] = A/x + B/x² + (Cx + D)/(1 + x²)
通分得：1 + 3x² = Ax(1 + x²) + B(1 + x²) + (Cx + D)x²
1 + 3x² = (A + C)x³ + (B + D)x² + Ax + B
对比两边的系数得：
A + C = 0
A = 0 → C = 0
B = 1
B + D = 3 → D = 2
∴(1 + 3x²)/[x²(1 + x²)] = 1/x² + 2/(x² + 1)
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