已知命题:如图在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3,说出这个命题的逆命题,判断其真假,并给出证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 08:12:40
已知命题:如图在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3,说出这个命题的逆命题,判断其真假,并给出证明.
已知命题:如图在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3,说出这个命题的逆命题,判断其真假,并给出证明.
已知命题:如图在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠.分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3,说出这个命题的逆命题,判断其真假,并给出证明.
逆命题：△ABC中,分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3,
求证：∠ACB=Rt∠.
此命题是真命题,
理由：
因为S2=△BCF面积=(1/2)*BC*BF*(√3/2)=(√3/4)a^2,
S1=△ACD面积=(1/2)*AC*CD*(√3/2)=(√3/4)b^2,
S3=△ABE面积=(1/2)*AB*AE*(√3/2)=(√3/4)c^2,
S1+S2=S3
所以(√3/4)a^2+（√3/4)b^2=（√3/4)c^2
所以a^2+b^2=c^2
由勾股定理的逆定理,得,
此三角形是直角三角形,∠ACB=Rt∠.
考点：勾股定理．
专题：探究型．
分析：（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得 =1，∴S1=S2+S3．由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2．
证明如下：（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似．
∴S1分之S2+S3 =1．
∴S1=S2+S3．
点评：...
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考点：勾股定理．
专题：探究型．
分析：（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得 =1，∴S1=S2+S3．由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2+b2．
证明如下：（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似．
∴S1分之S2+S3 =1．
∴S1=S2+S3．
点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用
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在△ABC中，分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3，则△ABC是Rt△,∠ACB=Rt∠。这个命题是真命题。
证明：S3=c*h3
S2=a*h2
S1=b*h1,
h1=√3*b/2,h2=√3*a/2,h3=√3*c/2
c*√3*c/2=a*√3*a/2+b*√3*b/2
...
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在△ABC中，分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3，则△ABC是Rt△,∠ACB=Rt∠。这个命题是真命题。
证明：S3=c*h3
S2=a*h2
S1=b*h1,
h1=√3*b/2,h2=√3*a/2,h3=√3*c/2
c*√3*c/2=a*√3*a/2+b*√3*b/2
c^2=a^2+b^2
△ABC是Rt△,∠ACB=Rt∠。
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S正三角形=根3a^2/4
逆命题：△ABC中，分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3，
求证：∠ACB=Rt∠。
此命题是真命题，
理由：
因为S2=△BCF面积=(1/2)*BC*BF*(√3/2)=(√3/4)a^2,
S1=△ACD面积=(1/2)*AC*CD*(√3/2)=(√3/4)b^2,
S3=△A...
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S正三角形=根3a^2/4
逆命题：△ABC中，分别以△ABC的三边为边的三个等边三角形的面积满足S1+S2=S3，
求证：∠ACB=Rt∠。
此命题是真命题，
理由：
因为S2=△BCF面积=(1/2)*BC*BF*(√3/2)=(√3/4)a^2,
S1=△ACD面积=(1/2)*AC*CD*(√3/2)=(√3/4)b^2,
S3=△ABE面积=(1/2)*AB*AE*(√3/2)=(√3/4)c^2,
S1+S2=S3
所以(√3/4)a^2+（√3/4)b^2=（√3/4)c^2
所以a^2+b^2=c^2
由勾股定理的逆定理，得，
此三角形是直角三角形，∠ACB=Rt∠。
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