用定积分表示极限lim(n-->∞)ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)RT
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:23:01
用定积分表示极限lim(n-->∞)ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)RT
用定积分表示极限lim(n-->∞)ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)
RT
用定积分表示极限lim(n-->∞)ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)RT
n→∞
lim ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)
=lim 2(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+……+ln(1+n/n)]
=2∫²₁lnxdx
=2x(lnx-1)|²₁
=4(ln2-1)-2(ln1-1)
=4ln2-2
解(定积分法)：原式=lim(n-->∞)[ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)]
=lim(n-->∞){(2/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)....+ln(1+n/n)]}
=2lim(n-->∞){(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)....+ln...
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解(定积分法)：原式=lim(n-->∞)[ln((1+1/n)(1+2/n)……(1+n/n))^(2/n)]
=lim(n-->∞){(2/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)....+ln(1+n/n)]}
=2lim(n-->∞){(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)....+ln(1+n/n)]}
=2∫(0,1)ln(1+x)dx (∫(0,1)表示从0到1积分)
=2[(xln(1+x))|(0,1)-∫(0,1)xdx/(1+x)] (应用分部积分)
=2[ln2-∫(0,1)(1-1/(1+x))dx]
=2*ln2-2[x-ln(1+x)]|(0,1)
=2*ln2-2(1-ln2)
=2(2ln2-1)
=ln16-2.
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