一道大学证明题证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:18:57
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一道大学证明题证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.
一道大学证明题
证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.
一道大学证明题证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.
设lim(x→∞)f(x)=A.
则由定义:任给ε>0,存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|<ε
因此,对于ε0=1>0,也必存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|<ε0=1
即当|x|>M时,有|f(x)|<|A|+1;
又f(x)在R内连续,则在[-M-1,M+1]上连续,因而f(x)在[-M-1,M+1]上有界,
所以存在B>0,任给x属于[-M-1,M+1],有|f(x)|≤B
取C=max(|A|+1,B)
因此,任给x属于R:当x属于[-M-1,M+1]时,有|f(x)|≤B≤C;
当|x|≥M+1>M时,有|f(x)|<|A|+1≤C.
证毕.
一道大学证明题证明若f(x)在R内连续,且当x趋于无穷时f(x)极限存在,则f(x)必在R内有界.
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