求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/17 13:31:30
求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²求证:从一开始的n个连续自然数的立方和

求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.
即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²

求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
对于任意整数i,有
(1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n(1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
(1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
(1+2)² - (1)² = 2 ³
(1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
(1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
(1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³

(1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³

学过数学归纳法了吗?

用数学归纳法

求100以内的自然数N 使得从一开始的连续N个自然数的立方之和大于3000000和N=多少.现在需要答案, 求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)² 求最大的自然数n,使得从1到连续n个自然数的立方和小于50000 从1开始连续n个自然数的立方和是多少? 从一开始的连续自然数的立方和 平方和1³+2³+3³+.+n³=1²+2²+3²+.+n²= 求出以内100最大自然数n,使的从1开始连续个自然数的立方和小于20000 求证3个连续自然数的立方和能被9整除 从一开始2012个连续自然数的积的尾数有几个连续的零 从一开始,2007个连续奇数相加的和是 从一开始算起,50个连续奇数的和 求证三个连续自然数中,最大一数的立方...求证三个连续自然数中,最大一数的立方不可能等于另外两数的立方和 求出100以内最大的自然数n,使得从1开始的连续n个自然数的立方之和大于88888 已知从1开始连续N个自然数相加的和是n(n+1)/2,则从1到1000这1000个自然数的和是多少? 连续N个自然数的平方的和等于多少 证明:32不可能写成n个连续自然数的和 从连续自然数1,2,3,...,2008中任意取n个不同的数.1.求证:当n=1007是,无论怎么样选取n个数,总存在其中的4个数的和等于4017.2.当正整数n 阅读理解题 (1)我们把从1开始至n的n个连续自然数立方和记作Sn,那么有:阅读理解题(1)我们把从1开始至n的n个连续自然数立方和记作Sn,那么有:S1=1^3=1^2=[1*(1+1)/2]^2;S2=1^3=2^3=(1+2)^2=[2*(1+2)/2] 阅读理解题(1)我们把从1开始至n的n个连续自然数立方和记作Sn,那么有:S1=1^3=1^2=[1*(1+1)/2]^2;阅读理解题(1)我们把从1开始至n的n个连续自然数立方和记作Sn,那么有:S1=1^3=1^2=[1*(1+1)/2]^2;S2=1^3