等比数列{an}为2的（n-1）次方,bn=2（log2（an）+1）（n是正整数）.证明,不等式[（b1+1)/b1]*……[(bn+1)/bn]>根号（n+1）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 21:15:39
等比数列{an}为2的（n-1）次方,bn=2（log2（an）+1）（n是正整数）.证明,不等式[（b1+1)/b1]*……[(bn+1)/bn]>根号（n+1）
等比数列{an}为2的（n-1）次方,bn=2（log2（an）+1）（n是正整数）.
证明,不等式[（b1+1)/b1]*……[(bn+1)/bn]>根号（n+1）
等比数列{an}为2的（n-1）次方,bn=2（log2（an）+1）（n是正整数）.证明,不等式[（b1+1)/b1]*……[(bn+1)/bn]>根号（n+1）
因为an=2^(n-1),所以
bn=2(log2(an)+1)=2[((n-1)+1]=2n,
所以(bn+1)/bn=(2n+1)/2n,
又因为(2n+1)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n=4n(n+1),
所以(2n+1)^2/4n^2>(n+1)/n,
(2n+1)/2n>√(n+1)/√n.
所以
[(b1+1)/b1]*……[(bn+1)/bn
=3/2*5/4*7/6*.*(2n+1)/2n
>√2/√1*√3/√2*√4/√3*.*√(n+1)/√n
=√(n+1).
得证.
此题可用数学归纳法
容易求得bn=2n,
证明该不等式即是证明(3/2)(5/4)(7/6)~~(2n+1/2n)>根号(n+1)
当n=1时，3/2>根号2，不等式成立
假设当n=k时，不等式成立。则有(3/2)(5/4)(7/6)~~(2k+1/2k)>根号k+1
当n=k+1时，使得该不等式成立只需证明(2k+3/2k+2)根号(k+1)>根号(k+2...
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此题可用数学归纳法
容易求得bn=2n,
证明该不等式即是证明(3/2)(5/4)(7/6)~~(2n+1/2n)>根号(n+1)
当n=1时，3/2>根号2，不等式成立
假设当n=k时，不等式成立。则有(3/2)(5/4)(7/6)~~(2k+1/2k)>根号k+1
当n=k+1时，使得该不等式成立只需证明(2k+3/2k+2)根号(k+1)>根号(k+2)
该不等式进一步化简为1/(2根号k+1)>[根号(k+2)-根号(k+1)]=1/[根号(k+1)-根号(k+2)]
显然该不等式成立。
则当n=k+1时，该不等式也成立。
综上，该不等式成立
收起
由已知得an=2^(bn/2-1)=2^(n-1)
即bn=2n
代入不等式左边=(1+1/2)(1+1/4)(1+1/6)......(1+1/2n)
易证左边>根号(n+1)（如反证法）
得证反证法怎么证啊。我就是到了这个地方死了。怎么把那些1/2，1/4等和根号（n+1）联系起来啊。你写个解答过程出来把刚才吃饭了 当n=1时，左边=1+1/2=3/2=根号(...
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由已知得an=2^(bn/2-1)=2^(n-1)
即bn=2n
代入不等式左边=(1+1/2)(1+1/4)(1+1/6)......(1+1/2n)
易证左边>根号(n+1)（如反证法）
得证
收起