已知X,Y属于正实数,若X+Y=1.求证:X的四次方+Y的四次方大等于1/8
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 08:02:02
已知X,Y属于正实数,若X+Y=1.求证:X的四次方+Y的四次方大等于1/8
已知X,Y属于正实数,若X+Y=1.求证:X的四次方+Y的四次方大等于1/8
已知X,Y属于正实数,若X+Y=1.求证:X的四次方+Y的四次方大等于1/8
因为
(x-y)的平方≥0(任何一个数的平方肯定大于等于0)
即
x^2-2xy+y^2≥0
所以
x^2+y^2≥2xy(要牢记这个公式)
不等式两边同时加上(x^2+y^2)得
x^2+y^2+(x^2+y^2)≥2xy+(x^2+y^2)
即
2(x^2+y^2)≥(x+y)^2 *******(这里是根据(x+y)的平方=2xy+x^2+y^2的公式
又因为x+y=1
所以
2(x^2+y^2)≥1
即
x^2+y^2≥1/2
同理
x^4+y^4=(x^2)的平方+(y^2)的平方≥2(x^2)(y^2)
不等式两边同时加(x^2)的平方+(y^2)的平方得
2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥2(x^2)(y^2)+[(x^2)的平方+(y^2)的平方]
即
2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥[(x^2)+(y^2)]的平方
又因为
x^2+y^2≥1/2
2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥[(x^2)+(y^2)]的平方≥1/2的平方
2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥1/4
即
X的四次方+Y的四次方大等于1/8
正解!!
由基本不等式
x^2+y^2>=2xy （左右都加x^2+y^2）
得
x^2+y^2>=0.5*（x+y）^2 -----1式
将x^2替换1式中x,y^2替换1式中y
得
x^4+y^4>=0.5*（x^2+y^2）^2 ------2式
将1式代入2式，并代入x+y=1
得
x^4+y^4>=0.5*（0.5）^2=1/8
注意:由于手机没乘号 一下乘号都省略. 重要不等式XX+YY>=2XY.两边平方整理得XXXX+YYYY>=2XXYY,据重要不等式2XXYY最大值为八分之一.谢谢
x^2+y^2>=0.5*(x+y)^2=1/2
x^4+y^4>=0.5*(x^2+y^2)^2>=0.5*0.5^2=1/8