指数函数如何求导用[e^(x+delta x)-e^x]/delta x 悲剧了

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 15:06:56
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指数函数如何求导
用[e^(x+delta x)-e^x]/delta x 悲剧了

指数函数如何求导用[e^(x+delta x)-e^x]/delta x 悲剧了
y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）
△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x
如果直接令△x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算.
由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）.
所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
显然,当△x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0（1+β）^1/β=e,所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x,y'=e^x.

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