已知等比数列an各项为实数,且公比为q,前n项和为Sn,且S3,S6,S9成等差数列,（1）求q的值;(2)求证:a2、a8、a5成等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 16:31:05
已知等比数列an各项为实数,且公比为q,前n项和为Sn,且S3,S6,S9成等差数列,（1）求q的值;(2)求证:a2、a8、a5成等差数列
已知等比数列an各项为实数,且公比为q,前n项和为Sn,且S3,S6,S9成等差数列,（1）求q的值;(2)求证:a2、a8、a5成等差数列
已知等比数列an各项为实数,且公比为q,前n项和为Sn,且S3,S6,S9成等差数列,（1）求q的值;(2)求证:a2、a8、a5成等差数列
(1)
设等比数列{an}的公比为q
S3,S6,S9成等差数列
那么2S6=S3+S9
当q=1时,Sn=na1
∴12a1=3a1+9a1,符合题意
当q≠1时,
那么2a1(q^6-1)/(q-1)=a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^9-1)/(q-1)
2q^6-2=q^3-1+q^9-1
q^9-2q^6+q^3=0
约掉q^3
q^6-2q^3+1=0
(q^3-1)^2=0
那么q^3=1,q=1舍去
∴q=1
(2)
那么{an}为常数列
an=a1
当然a2,a8,a5为等差数列
【题目有问题吧】,
觉得是S3,S9,S6为等差数列的
那么2S9=S3+S6
当q=1时,Sn=na1
∴2S9=18a1
S3+S6=3a1+6a1=12a1,
不符合题意
当q≠1时,
那么2a1(q^9-1)/(q-1)=a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^6-1)/(q-1)
2q^9-2=q^3-1+q^6-1
2q^9-q^6-q^3=0
约掉q^3
2q^6-q^3-1=0
(q^3-1)（2q^3+1)=0
那么q^3=1,舍去或q^3=-1/2
∴q=-1/³√2=-(³√4)/2
(2)
q=-2^(-1/3) q^3=-1/2
an=a1*q^(n-1)
那么2a8=2a1*q^7=-2a1*2^(-7/3)=-a1*2^(-4/3)
a2+a5=a1q+a1q^4=a1(q+q^4)
=-a1q(1+q^3)
=-a1*2^(-1/3)*[1-1/2]
=-a1*2^(-1/3)*2^(-1)
=-a1*2^(-4/3)
∴2a8=a2+a5
那么a2,a8,a5成等差数列.