试说明:当x为整数时,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个整数的完全平方数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/31 04:09:51
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试说明:当x为整数时,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个整数的完全平方数.
原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=[(x²+5x)+4][(x²+5x)+6]+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)+24+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)+25
=(x²+5x+5)²
所以是一个整数的完全平方数.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x²+5x+4)(x²+5x+6)+1
=(x²+5x)²+10(x²+5x)24+1
=(x²+5x)²10(x²+5x)+25
=(x²+5x+5)²
∴当x为整数时,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个整数的完全平方数

(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
令x2+5x为T,则原代数式为(T+4)(T+6)+1,分解的T2+10T+25,即(T+5)2
因为x为整数,所以T+5为整数,即为即为所证