已知关于x的方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 07:07:52
已知关于x的方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值
已知关于x的方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值
已知关于x的方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值
设 x^2+cx+a = 0 的两个整数根为 x1 和 x2 ；则有：x1+x2 = -c ,x1x2 = a ；
设 x^2+ax+b = 0 的两个整数根为 x3 和 x4 ；则有：x3+x4 = -a ,x3x4 = b ；
依题意有：x1-x3 = 1 ,x2-x4 = 1 ；
-a = x3+x4 = x1+x2-2 = -c-2 ,即有：c = a-2 ；
a = x1x2 = (x3+1)(x4+1) = x3x4+(x3+x4)+1 = b-a+1 ,即有：b = 2a-1 ；
两个方程变为：x^2+(a-2)x+a = 0 和 x^2+ax+(2a-1) = 0 ,
则它们的判别式 a^2-8a+4 必须为完全平方数.
可设：n^2 = (a-2)^2-4a = a^2-8a+4 = (a-4)^2-12 ,令 m = a-4 ,
则有：12 = m^2-n^2 = (m+n)(m-n) ,（其中m、n都是整数）
m+n 和 m-n 同奇偶,可得：
① m+n = 6 、m-n = 2 ,或 m+n = 2 、m-n = 6 ,可得：m = 4 ,
则有：a = 8 ,b = 15 ,c = 6 ,
所以,a+b+c = 29 ；
② m+n = -6 、m-n = -2 ,或 m+n = -2 、m-n = -6 ,可得：m = -4 ,
则有：a = 0 ,b = -1 ,c = -2 ,
所以,a+b+c = -3 ；
综上可得：a+b+c = 29 或 -3 .
设方程x²+cx+a=0的两个整数根为：x1，x2，则：
x1+x2=-c，x1x2=a。
依题意可知：
方程x²+ax+b=0的两个根为：x1-1，x2-1，则：
x1-1+x2-1=-a， (x1-1)(x2-1)=b，
所以x1+x2=-a+2=-c， x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b，
即c=a-2， ...
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设方程x²+cx+a=0的两个整数根为：x1，x2，则：
x1+x2=-c，x1x2=a。
依题意可知：
方程x²+ax+b=0的两个根为：x1-1，x2-1，则：
x1-1+x2-1=-a， (x1-1)(x2-1)=b，
所以x1+x2=-a+2=-c， x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b，
即c=a-2， b=a+c+1=2a-1。
又因为方程x²+cx+a=0的两个根都是整数，
即方程x²+(a-2)x+a=0的两个根都是整数，则：
a是整数，且(a-2)^2-4a>0，
a^2-8a+4>0，
所以a>=8，或a<=0。
试算，可得：
a=8时，c=6，b=15，
方程x²+cx+a=0的两个根为：-2，-4；
方程x²+ax+b=0的两个根为：-3，-5；
满足题设条件。
故a+b+c=29；
a=0时，c=-2， b=-1，
方程x²+cx+a=0的两个根为：2，0；
方程x²+ax+b=0的两个根为：1，-1；
满足题设条件。
故a+b+c=-3。
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