数学上的欧式空间是什么意思?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 11:05:10
数学上的欧式空间是什么意思?
数学上的欧式空间是什么意思?
数学上的欧式空间是什么意思?
设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法；这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素＠和＃,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应,称为＠与＃的和,记为＄＝＠＋＃．在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于数域P中任一数k与V中任一元素@,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应,称为k与＠的数量乘积,记为＄＝k＠．如果加法与乘法还满足下述规则,那么V称为数域P上的线性空间．
加法满足下面四条规则：
1）＠＋＃＝＃＋＠；
2）（＠＋＃）＋＄＝＠＋（＃＋＄）
3）在V中有一元素O,对于V中任一元素＠都有
＠＋O＝＠
(具有这个性质的元素O称为零元素)
4）对于V中每一个元素＠,都有V中的元素＃,使得
＠＋＃=O
(＃称为＠的负元)
数量乘法满足下面两条规则：
5）1＠＝＠；
6）k(l@)=(kl)@.
数量乘法和加法满足下面两条规则：
7）（k+l）＠＝k＠＋l＠;
8）k（＠＋＃）＝k＠＋k＃．
在以上规则中,k,l等表示数域P中的任意数；＠,＃,＄等表示集合V中任意元素．
设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质:
1)(@,#)=(#,@);
2)(k@,#)=k(@,#);
3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$);
4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0.
这里@,#,$是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间．
平坦的空间，简单说，在欧式空间里，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
符合欧几里德几何的空间
欧几里德几何，简单的说来自于欧几里德第五公设（同侧内角互补，则两直线平行），从这个公社可以衍生出若干推论。其中一个就是三角形内角和是180。
如果三角形内角和不是180的话，那么就称做非欧几何
oneinbicycle辛苦了，可惜不准确。oneinbicycle给出了线性空间和度量空间（或称内积空间）的定义，不过不是所有的度量空间都是Euclid空间。
Euclid空间是指实数域R上的有限维内积空间R^n，它的内积由下式定义：
R^n × R^n —→ R
((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) ├→ x_1 * y_1 + ... ...
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oneinbicycle辛苦了，可惜不准确。oneinbicycle给出了线性空间和度量空间（或称内积空间）的定义，不过不是所有的度量空间都是Euclid空间。
Euclid空间是指实数域R上的有限维内积空间R^n，它的内积由下式定义：
R^n × R^n —→ R
((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) ├→ x_1 * y_1 + ... + x_n * y_n
另外，类似的无穷维空间是Hilbert空间，不多说了。
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