柯西不等式a+b=1,求证：（a+1/a）+（b+1/b）大于等于 25/2b大于 0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:04:19
柯西不等式a+b=1,求证：（a+1/a）+（b+1/b）大于等于 25/2b大于 0
柯西不等式
a+b=1,求证：（a+1/a）+（b+1/b）大于等于 25/2
b大于 0
柯西不等式a+b=1,求证：（a+1/a）+（b+1/b）大于等于 25/2b大于 0
原题应是 a+b=1 a,b>0 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
首先由均值不等式知
ab=(a+1/a+b+1/b)^2
=(1+1/a+1/b)^2
=(1+1/ab)^2
>=(1+4)^2
=25
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2成立
是否是这样的:若a>0,b>0,a+b=1 试证(a+1/a )的平方＋（b+1/b)的平方大于等于25／2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
≥0.5*(a+b)^2 +0.5*(1/a +1/b)^2 +4
=0.5+ 0.5*...
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是否是这样的:若a>0,b>0,a+b=1 试证(a+1/a )的平方＋（b+1/b)的平方大于等于25／2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
≥0.5*(a+b)^2 +0.5*(1/a +1/b)^2 +4
=0.5+ 0.5*(1/a +1/b)^2+4
=4.5+0.5*(1/a+1/b)^2
因为ab≤0.25*(a+b)^2=0.25,
所以1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab ≥4；
(1/a +1/b)^2≥16
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥4.5+0.5*16=25/2
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