大一高数 数列极限题一道 若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:19:56
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大一高数 数列极限题一道 若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛.
大一高数 数列极限题一道
若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛.

大一高数 数列极限题一道 若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛.
证明：∵limUn=a
∴对任意§＞0,存在N.＞0,当n＞N.时,|Un-a|＜§
∴对上述§＞0,存在N=N.,当n＞N时,||Un|-|a||≤|Un-a|＜§
∴lim|Un|=|a|
举例：如Xn=（-1）^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1)
∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在

我简单写一下
数列Un的极限是a，故|Un-a|而||Un|-|a||<=|Un-a|故数列|Un|的极限是|a|
反例Un=(-1)^n

对于任意小的正数ε，由Un的极限是a，则存在正整数N，n＞N时，|Un-a|＜ε. 因为||Un|-|a||≤|Un-a|，所以n＞N时，||Un|-|a||＜ε.
所以，|UN|的极限是|a|.
反之结论不成立，例如设Un是数列1,-1,1,-1,1,-1,...。|Un|＝1，收敛，而Un发散

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