求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a＞0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1）∪（1,4】 】表示闭区间

求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a＞0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1）∪（1,4】 】表示闭区间
求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a＞0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围
第一个a是底数,
1）∪（1,4】 】表示闭区间

求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a＞0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1）∪（1,4】 】表示闭区间
因为 函数f(x)＝log(x+a/x-4) 的值域是 R,所以 函数 y＝x+a/x-4（x≠0) 的值域必须“包含”有 (0,+∞),也就是说(0,+∞)包含在“y＝x+a/x-4”的值域中就能满足题意,不一定恰好是(0,+∞).
设方程 x+a/x-4＝k (k＞0) 即 x^2 -(4+k)x + a＝0 --------------------（1）
由原题意,对任意 k＞0 ,关于“x”的二次方程(1) 都有解,
于是判别式 △＝g(k)＝(4+k)^2 - 4a＝k^2 + 8k + 16 - 4a ≥0 ---------（2）
进一步,当 k＞0 时,关于“k”的不等式（2）恒成立,所以
对关于“k”的二次函数 g(k)＝k^2 + 8k + 16 - 4a ,有 g(0)＝16 - 4a≥0 ,
[因为 g(k) 的对称轴是 k＝-4,作图可知：欲使 当 k＞0 时 （2）式恒成立,必须有 g(0)＝16 - 4a≥0 ]
解得 a≤4,
又因为 a＞0 且 a≠1,所以,a 的取值范围是 (0,1)∪(1,4] .

原命题等价于x+a/x-4可以取到（0，正无穷）上的任何正数。
先看定义域，
0 < x + a/x - 4,
当x > 0时，0 < x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a-4,
a > 4时，x > 0.
a = 4时，x > 0. x 不等于2.
a < 4时，（x-2)^2 > 4 - a, |x-2| > (4-a)^(1/2...

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原命题等价于x+a/x-4可以取到（0，正无穷）上的任何正数。
先看定义域，
0 < x + a/x - 4,
当x > 0时，0 < x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a-4,
a > 4时，x > 0.
a = 4时，x > 0. x 不等于2.
a < 4时，（x-2)^2 > 4 - a, |x-2| > (4-a)^(1/2),
x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，x < 2 - (4-a)^(1/2),
0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a <= 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)。
当x < 0时，0 > x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a - 4.
a >= 4时，无解。
a < 4时，（x-2)^2 < 4 - a, |x-2| < (4-a)^(1/2),
2 - (4-a)^(1/2) < x < 2 + (4-a)^(1/2),
0 <= a < 4时，无解。
a < 0时, 2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
综合，定义域为，
a > 4时，x > 0.
a = 4时，x > 0. x 不等于2.
0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a = 0时，x > 2 + (4)^(1/2) = 4。
a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)，或者，2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
这样，
a > 4时，x > 0. x + a/x - 4 >= 2a - 4 > 4,不符题意。
a = 4时，x > 0. x 不等于2. x + a/x - 4 >= 2a - 4 = 4,不符题意。
0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时，趋于正无穷，
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时，趋于+0，
x + a/x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。
a = 0时，x > 2 + (4)^(1/2) = 4。x + a/x - 4 = x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。
a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)，或者，2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时，趋于正无穷，
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时，趋于+0，
x + a/x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。
因此，a的取值范围是 a < 4.

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