英语 (18 9:44:19)以知数列an中,a1=-1,a(n+1)乘an=a(n+1)减an,则数列an的通项公式为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 17:03:54
英语 (18 9:44:19)以知数列an中,a1=-1,a(n+1)乘an=a(n+1)减an,则数列an的通项公式为?
英语 (18 9:44:19)
以知数列an中,a1=-1,a(n+1)乘an=a(n+1)减an,则数列an的通项公式为?
英语 (18 9:44:19)以知数列an中,a1=-1,a(n+1)乘an=a(n+1)减an,则数列an的通项公式为?
1.由a1=-1,
a（n+1）*a(n)=a（n+1）-a(n)得
a2=-1/2,
a3=-1/3,
...
猜测an=-1/n.
2.证实通向公式的推断：
对于已知条件a（n+1）*a(n)=a（n+1）-a(n)得
（等式2边同时除以左等式）1=[a（n+1）-a(n)]/[a（n+1）*a(n)]
化简得 1=1/a(n)-1/a（n+1）
将｛1/an｝看做是新的数列（等差数列）,数列的首项是a1=-1,公差是d=-1,
则根据an=a1+(n-1)d 得
1/an=(-1)+(n-1)(-1)
化简得 an=-1/n.
综上所述：原数列｛an｝的通向公式是：an=-1/n.
因为a_1=-1,a_(n+1)*an=a_(n+1)-a_n
所以可求得a_2=-(1/2),a_3=-(1/3),
a_4=-(1/4)......
由数学归纳法可得a_n=-(1/n)
下面证明：
设当n=k时，a_k=-(1/k)成立。当n=k+1时：
由原式得：a_(k+1)*a_k=a_(k+1)-a_k
...
全部展开
因为a_1=-1,a_(n+1)*an=a_(n+1)-a_n
所以可求得a_2=-(1/2),a_3=-(1/3),
a_4=-(1/4)......
由数学归纳法可得a_n=-(1/n)
下面证明：
设当n=k时，a_k=-(1/k)成立。当n=k+1时：
由原式得：a_(k+1)*a_k=a_(k+1)-a_k
a_(k+1)*[-(1/k)]=a_(k+1)-[-(1/k)]
[(k+1)/k]*a_(k+1)+(1/k)=0
a_(k+1)=-[1/(k+1)]
即当n=k+1时也满足a_n=-(1/n)
综上所述：a_n=-(1/n)
收起
对于a(n+1)乘an=a(n+1)减an这个等式,
两边同时除以a(n+1)乘an
就变成1=1/an-1/a（n+1）
这样就变成了一个等差数列
把1/an看做一个新项
不难求出1/an的通项
即1/an=n
则an=1/n
这是高中数学中常见的一个解题思想，即利用其倒数来求通项公式
这样的题只要多做一些就会一眼看出，这...
全部展开
对于a(n+1)乘an=a(n+1)减an这个等式,
两边同时除以a(n+1)乘an
就变成1=1/an-1/a（n+1）
这样就变成了一个等差数列
把1/an看做一个新项
不难求出1/an的通项
即1/an=n
则an=1/n
这是高中数学中常见的一个解题思想，即利用其倒数来求通项公式
这样的题只要多做一些就会一眼看出，这属于一种基础解题方法。
收起
zheyang,对于a(n+1)乘an=a(n+1)减an这个等式,
两边同时除以a(n+1)乘an
就变成1=1/an-1/a（n+1）
这样就变成了一个等差数列
把1/an看做一个新项
不难求出1/an的通项
即1/an=n
则an=1/n ,
我比较笨 不会
数学归纳法：
格式略就写推导那步：
假设当n=k时，ak=-1/k成立
则当n=k+1时，a(k+1)乘ak=a(k+1)减ak,
a(k+1)乘（）-1/k=a(k+1)减（-1/k），得a（k+1）=-1/（k+1）
成立
所以：an=-1/n