一道三角函数题.若sinA+sinB=√2/2,求cosA+cosB的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 01:02:51
一道三角函数题.若sinA+sinB=√2/2,求cosA+cosB的取值范围.
一道三角函数题.若sinA+sinB=√2/2,求cosA+cosB的取值范围.
一道三角函数题.若sinA+sinB=√2/2,求cosA+cosB的取值范围.
若sinA+sinB=√2/2 (1)
平方化简 sinAsinB=-1/4 (2)
不妨设sinA>sinB
联立(1)(2)解得sinA=(√6+√2)/4 sinB=(√2-√6)/4
于是cosA=±√(1-sin²A)=±(√6-√2)/4
cosB=±√(1-sin²B)=±(√6+√2)/4
所以cosA+cosB的最小值=-(√6-√2)/4-(√6+√2)/4=-√6/2
cosA+cosB的最大值=(√6-√2)/4+(√6+√2)/4=√6/2
故cosA+cosB的取值范围[-√6/2,√6/2]
记sinA+sinB=x，cosA+cosB=y，则x²+y²=(sin²A+cos²A)+(sin²B+cos²B)+2(cosAcosB+sinAsinB)=2+2cos(A-B)
又x²=(sinA+sinB)²=1/2
于是y²=3/2+2cos(A-B)≤7/2，所以-√14/2≤y...
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记sinA+sinB=x，cosA+cosB=y，则x²+y²=(sin²A+cos²A)+(sin²B+cos²B)+2(cosAcosB+sinAsinB)=2+2cos(A-B)
又x²=(sinA+sinB)²=1/2
于是y²=3/2+2cos(A-B)≤7/2，所以-√14/2≤y=cosA+cosB≤√14/2
又当A=B时sinA=√2/4，cosA=cosB=±√14/4，cosA+cosB=±√14/2
所以cosA+cosB∈[-√14/2,√14/2]
收起
经供参考：
因为sinA+sinB=√2/2
且在三角形ABC内
所以sinA，sinB>0
将sinA+sinB=√2/2两边平方得
sinA^2+sinB^2+2sinAsinB=1/2
设cosA+cosB=T
两边平方得
cosA^2+cosB^2+2cosAcosB=T^2
与sinA^2+sinB^2+2sinAs...
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经供参考：
因为sinA+sinB=√2/2
且在三角形ABC内
所以sinA，sinB>0
将sinA+sinB=√2/2两边平方得
sinA^2+sinB^2+2sinAsinB=1/2
设cosA+cosB=T
两边平方得
cosA^2+cosB^2+2cosAcosB=T^2
与sinA^2+sinB^2+2sinAsinB=1/2相加得
cosA^2+cosB^2+2cosAcosB+sinA^2+sinB^2+2sinAsinB=T^2+1/2
化简得
2+2cosAcosB+2sinAsinB=T^2+1/2
即3/2+2cos（A-B）=T^2
且cos（A-B）∈【-1,1】
所以T∈[-√14/2,√14/2]
即cosA+cosB∈[-√14/2,√14/2]
收起