已知关于X的一元二次方程mx^2-4x+4=0,x^2-4mx+4m^2-4m-5=0(m属于z),试求方程的根都是整数的充要条件
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 23:02:08
已知关于X的一元二次方程mx^2-4x+4=0,x^2-4mx+4m^2-4m-5=0(m属于z),试求方程的根都是整数的充要条件
已知关于X的一元二次方程mx^2-4x+4=0,x^2-4mx+4m^2-4m-5=0(m属于z),试求方程的根都是整数的充要条件
已知关于X的一元二次方程mx^2-4x+4=0,x^2-4mx+4m^2-4m-5=0(m属于z),试求方程的根都是整数的充要条件
第一题：当a=o时显然不成立,当a不等于0时,为一元二次方程,要使有整数根,必要条件为判别式为完全平方数.判别式=-3a^2+2a+9有最大值为28/3,又因为判别式大于等于0.所以判别式只能为0或1或4.
当判别式=0,a无整数解.当判别式=1,a有一个整数解为2.当判别式=4,a有一个整数解为-1.
综上a=2或-1.
第二题：判别式=p^2-4q^4必定为完全平方数.设p^2-4q^4=t^2,显然可知pq.
移项得（p+t)(p-t)=4q^4,右边为偶数,则左边也为偶数.又因为（p+t)与(p-t)奇偶性相同,所以它们中各含一个一个因子2.且（p+t)(p-t).
若p+t=2q^4,p-t=2,则消去t得p-1=q^4.若q为奇,则q为偶,不可能；所以q为偶,即q=2,p=17.
若p+t=2q^3,p-t=2q,消去t得p=q^3+q,显然p有因子q,与p为质数矛盾.
综上q=2,p=17.整数根为-1和-16.
第三题：(q-px)x=1985=5*397,（397为质数）则易知x=5或397（这是每一个根都要满足的条件）
x1+x2=q/p,x1*x2=1985/p.
若两个根都为5,带入后矛盾；
若两个根都为397,带入后也矛盾；
若一个根为5,一个根为397,可得p=1,q=402.所以原式=12+402=414