高中数学函数题（证明题）对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:09:12
高中数学函数题（证明题）对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为
高中数学函数题（证明题）
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
（1）若函数f(X)为理想函数,假定存在Xo∈[0,1],使得f(Xo)∈[0,1],且f[f(x)]=Xo,求证：f(Xo)=Xo.
打少了。使得f(Xo)∈[0,1],且f[f(x)]=Xo。
我就是不理解。
高中数学函数题（证明题）对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为
题目少打了一个0,应该是f[f(x0)]=x0
用反证法,很容易.
说一下简单思路.显然,x0=1时结论成立,下面讨论x0≠1时的情况.
首先,假设f(x0)=x1≠x0,x1∈[0,1].分两种情况讨论,证明思路是一样的,我只说一种你自己看看,第一种情况,x1>x0,这时,有x1-x0∈[0,1],并且有
x0=f[f(x0)]=f[x1]=f[x0+(x1-x0)]≥f(x0)+f(x1-x0)=x1+f(x1-x0)≥x1,这与x1>x0矛盾,同样可以说明x0>x1时的情况会产生矛盾,所以,原假设不成立,即x1=x0,从而得证
因为f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)>x1,和x1,x2的任意性知f（x）在【0，1】上严格单调增。所以当
f(Xo)≠Xo时，f[f(x)]≠Xo，与题设矛盾，所以f(Xo)=Xo.