若f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)对x∈R恒成立,则f(x)是周期函数,且____是它的一个周期
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 07:02:20
若f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)对x∈R恒成立,则f(x)是周期函数,且____是它的一个周期
若f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)对x∈R恒成立,则f(x)是周期函数,且____是它的一个周期
若f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)对x∈R恒成立,则f(x)是周期函数,且____是它的一个周期
f(x+2a)=[f(x+a)-1]/[f(x+a)+1]=1-2/[f(x+a)+1]
=1- 2/{[f(x)-1]/[f(x)+1]+1}
=1-2/2f(x)/[f(x+1)]
=1-[f(x)+1]/f(x)
=-1/f(x)
把x换成x+2a
那么
f(x+2a+2a)=-1/f(x+2a)= -1/(-1/f(x))=f(x)
所以
f(x+4a)=f(x)
所以它的一个周期是4a
f(x+a+a)
=(f(x+a)-1)/(f(x+a)+1)
而f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
所以
f(x+a+a)
=((f(x)-1)/(f(x)+1))-1)/((f(x)-1)/(f(x)+1)+1)
=-1/f(x)
即f(x+2a)=-1/f(x)
即f(x)=-1/f(x+2a)
用x+2a...
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f(x+a+a)
=(f(x+a)-1)/(f(x+a)+1)
而f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
所以
f(x+a+a)
=((f(x)-1)/(f(x)+1))-1)/((f(x)-1)/(f(x)+1)+1)
=-1/f(x)
即f(x+2a)=-1/f(x)
即f(x)=-1/f(x+2a)
用x+2a替换上式中的x
即f(x+2a)=-1/f(x+4a)=-1/f(x)
所以f(x)=f(x+4a)
所以f(x)为周期函数,周期为4a
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