n个平面最多将一个球体分成几份? 最好有推导公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 12:31:09
n个平面最多将一个球体分成几份? 最好有推导公式
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n个平面最多将一个球体分成几份? 最好有推导公式
《普通解法》
理论上空间中的每个平面,都可以与其不平行的平面相交,而第n次相交可以使原来的分割数增加n个.所以1、2、3、4、……n个平面,最多可以把空间分割数为：
2、（2+2）、（2+2+3）、（2+2+3+4）、（2+2+3+4+5）……A（n-1）+n
所以n个平面最多能分为：
An=2+2+3+4+5+……+n=1+n（n-1）/2
《多维空间解法》
将多维的问题降维思考是一个有效的思维方法,例如在讨论闭合的宇宙是将宇宙降维为球表面,我们都是球面上的二维扁片人,就好理解多了.
在上中学的时候,老师给我们参加数学竞赛的人随口提了这个问题,让我们回头想想怎么解,刚开始找不到切入点.后来我想到降维思考可能是一个突破口,后来一算,还真是.看到大家讨论空间的问题就想起这个问题了.
设空间中的N个平面最多将空间分割成F(N)部分.
那么引入另外一个函数f(M):平面上的M条直线最多将平面分割成f(M)部分.
可以想象,F(N)=F(N-1)+f(N-1).N-1个平面已经将空间最多分割成了F(N-1)部分,那么第N个平面与这N-1个平面最多有N-1条相交线.因此第N平面最多被分割成f(N-1)部分,那么由于第N平面的加入,空间被多分割出f(N-1)部分.
那么f(M)等于什么呢?如果平面上有M-1条直线将平面最多分割成f(M-1)部分,那么第M条直线最多与其余M-1条直线有M-1个交点,因此由于第M条直线的加入最多使这个平面被多分割出M部分,因此f(M)=f(M-1)+M.f(1)=2.
不难算出f(M)=1+M*(M+1)/2;故f(N-1)=1+N*(N-1)/2.
因此F(N)=F(N-1)+1+N*(N-1)/2;F(1)=2.
因此可以得到：F(N)=1/2*(1^2+2^2+...+N^2)-(N+1)*(N-4)/4