在数列{an}中,an=a（n-1）/3a（n-1）+2且a1=1,求an（用待定系数法和倒数法）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 23:32:44
在数列{an}中,an=a（n-1）/3a（n-1）+2且a1=1,求an（用待定系数法和倒数法）
在数列{an}中,an=a（n-1）/3a（n-1）+2且a1=1,求an（用待定系数法和倒数法）
在数列{an}中,an=a（n-1）/3a（n-1）+2且a1=1,求an（用待定系数法和倒数法）
取倒数,得：
1/[an]=[3a(n－1)＋2]/[a(n－1]=3＋2/[a(n－1)] ====>>> 两边再加3,得：
3＋1/[an]=6＋2/[a(n－1)]=2{3＋1/[a(n－1)]} =====>>>{3＋1/[an]}/{3＋1/[a(n－1)]}=2=常数,
则数列{3＋1/[an]}是以3＋1/[a1]=4为首项、以q=2为公比的等比数列,则：
3＋1/[an]=4×2^(n－1)=2^(n＋1)
1/[an]=－3＋2^(n＋1)
得：an=1/[－3＋2^(n＋1)]
an=an-1 / [3an-1 +2]
3anan-1+2an=an-1
3+2/an-1=1/an,
设bn=1/an+3 ,b1=4
2bn-1=bn
倒数法
取倒数，得：
1/an=[3a(n－1)＋2]/[a(n－1]=3＋2/[a(n－1)] then 两边再加3，得：
3＋1/an=6＋2/a(n－1)=2{3＋1/a(n－1)} so{3＋1/an}/{3＋1/a(n－1)}=2 为常数，
则数列{3＋1/an}是以3＋1/a1=4为首项、以q=2为公比的等比数列，则：
3＋1/（an）=4...
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倒数法
取倒数，得：
1/an=[3a(n－1)＋2]/[a(n－1]=3＋2/[a(n－1)] then 两边再加3，得：
3＋1/an=6＋2/a(n－1)=2{3＋1/a(n－1)} so{3＋1/an}/{3＋1/a(n－1)}=2 为常数，
则数列{3＋1/an}是以3＋1/a1=4为首项、以q=2为公比的等比数列，则：
3＋1/（an）=4×2^(n－1)=2^(n＋1)
1/（an）=－3＋2^(n＋1)
得：an=1/（2^n-1）
待定系数法
an=a（n-1） / [a（n-1） +2]
an*a（n-1）+2an=a（n-1）
1+2/a（n-1）=1/an,
2+2/a（n-1）=1/an+1
设bn=1/an+1 b1=2
2b（n-1）=bn
bn=2*2^(n-1)=2^n
an=1/(2^n-1)
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