方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 17:55:31
方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.
方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.
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1.原方程式变形为10^(x-1)=x,我们令y₁=10^(x-1)=10^x/10,y₂=x,这样就成了两个函数的交点问题,画图得知（y₁为指数函数）,（一曲一直）肯定有两个交点,一个在﹙0,1﹚之间,另一个就是x=1；且y₁、y₂都是单调递增.
2.当x∈(0.1,0.2)时,y₁∈﹙10^0.1/10,10^0.2/10﹚,y₂∈(0.1,0.2),如果此时y₁、y₂的范围有交集,那么就肯定能取到一个x₁∈﹙0.1,0.2﹚,使得y₁=y₂,那么x₁就是原方程的另一个解.而y₁与y₂有交集,只需要10^0.2/10＞0.1即可.
3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小,0.1=1/10=10º/10,10^0.2＞10º（底数大于1的指数函数单调递增）,故10^0.2/10＞10º/10,故此时y₁、y₂有交集,那么原方程另一根必在﹙0.1,0.2﹚之间.故选A.
4.当x∈(0.2,0.3)时,y₁∈(10^0.2/10,10^0.3/10),y₂∈(0.2,0.3),那么同理,
10^0.3/10=[10^(3/10)] /10,10的3/10次方等于10次根号下10的3次方（=1000）
（这点很关键,在草稿纸上画画）；
而0.2=2/10,2可以看作10次根号下2的10次方（=1024）,
所以0.2＞10^0.3/10,即y₂恒大于y₁,因此此时y₁、y₂没有交集,那么原方程在此区间无根.故B错.
5.y₁、y₂均为单调递增函数,第一根在区间﹙0.1,0.2﹚内,另一根为x=1,而在区间﹙0.2,0.3﹚时,y₂就恒大于y₁,故在区间﹙0.3,1﹚内,y₂都将恒大于y₁,即不可能有交集,故C、D错.（一定要画图,即形象又好理解）
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3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小，0.1=1/10=10º/10，10^0.2＞10º（底数大于1的指数函数单调递增），故10^0.2/10＞10º/10，故此时y₁、y₂有交集，那么原方程另一根必在﹙0.1，0.2﹚之间。故选A。