第二题 证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.

第二题 证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.
第二题
证明:
有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.

第二题 证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.
抽屉原理去做
有理数m/n 如果m和n都是整数,则n不为0 而且不妨把n设为正整数（因为如果n是负整数,则-n是正整数 （-m）/(-n)=m/n,所以用-m,-n代替m,n即可）
现在n为除数,那么余数就只有0,1,2,…,n-1这n种可能值,是有限个.
在做除法时,如果经过有限步可除尽,那么剩下的可以认为是0的循环.
如果经过有限步不可除尽,那么余数有无限多.必有两次得到的余数会相同.而后面的结果就会开始循环.
如果你认为说,在除法的演算过程这样的说法不严谨.
你可以考虑这样说
对考虑m,10*m,...10^k *m ...有无限多个数
10^k *m除以n的余数 就是在除法的演算过程中第k步的余数.
所以必有两个除以n的余数相同

用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。

从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也...

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从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。
参考资料：http://home.pacific.net.hk/~kfzhou/Decimals.html

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世界有人想知道这个问题，可我不想知道。

在网吧
来不及细想
用连分数理论应该可以证明，LZ看看这方面的书吧。有理数都可以表成有限连分数。
如3/4=1/（1+1/3）

如果不循环就不叫“有理数”了

用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。
鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例 。
它的简单形式是 ： 把n＋1个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体 。...

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用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。
鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例 。
它的简单形式是 ： 把n＋1个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体 。

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证明：若m/n展开十进制小数是无限不循环的，这m/n为无理数，与m/n为有理数矛盾。
若m/n是有限的，不妨设他的十进制小数为 c=b.a1a2a3…an （an≥1）
而c=b.a1a2a3…an= b.a1a2a3…a(n-1)（an-1）9999…
为循环小数。

您的意思就是证明有理数的定义了？
对不起，高数都不研究这个

从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也...

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从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。
就是这样

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用连分数理论应该可以证明，LZ看看这方面的书吧。有理数都可以表成有限连分数。
如3/4=1/（1+1/3）

设10^k*m≡rk(mod n) 且0≤rk≤n-1 这时rk只有n种可能
当除不尽时 rk有无限多个 根据抽屉原理，必然会出现重复
设重复出现在ri与rj上，既ri=rj，则ri+1≡10*ri≡10*rj≡rj+1（mod n）又0≤rk≤n-1 故ri+1=rj+1 故ri+(j-i)=rj+(j-i) 即rj=r2j-i
这样，就出现了从ri+1到rj为一次的循环...

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设10^k*m≡rk(mod n) 且0≤rk≤n-1 这时rk只有n种可能
当除不尽时 rk有无限多个 根据抽屉原理，必然会出现重复
设重复出现在ri与rj上，既ri=rj，则ri+1≡10*ri≡10*rj≡rj+1（mod n）又0≤rk≤n-1 故ri+1=rj+1 故ri+(j-i)=rj+(j-i) 即rj=r2j-i
这样，就出现了从ri+1到rj为一次的循环。
还有，根据抽屉原理，重复必然出现在第n位小数之前。

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我要分数啊
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们...

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我要分数啊
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。

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无限循环小数
引言
欢迎光临本网页。在这个网页中，你可以学习到「无限循环小数」的概念。你亦可用本人编写的应用程序做有关无限循环小数的「数学实验」。
把分数化为无限循环小数
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在...

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无限循环小数
引言
欢迎光临本网页。在这个网页中，你可以学习到「无限循环小数」的概念。你亦可用本人编写的应用程序做有关无限循环小数的「数学实验」。
把分数化为无限循环小数
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。
数学实验
笔者用Flash编写了一个应用程序，让浏览者做一个数学实验，以验证上述讨论。使用者输入两个正整数后，程式便会计算这两个数相除的结果，计算进行至小数点后第1500位(使用者可用两个向上向下钮卷动计算结果)。由于本程序限制使用者输入的除数不得大于999，所以即使出现上述的「最差」情况，使用者也应能看到计算结果从小数点后哪一位开始出现循环。不过，在某些情况下，要看出小数点后哪一位开始出现循环有时也颇费神。各位可不妨试试让本程序算999/998，看看你是否看得出小数点后哪一位开始出现循环，以及循环数字包含哪些数字？如果没有上述的知识或这个程序，相信大多数人都会认为这个小数是不循环的。
请点击以下连结开启应用程序，该程序包含「使用说明」，浏览者只需依照说明上的指示便可使用该程序，请选择适合你计算机的程序。
无限循环小数应用程序(SWF文件)(你的计算机须安装Shockwave Flash软件，档案较小)
无限循环小数应用程序(EXE文件)(无需预先安装其它软件，但档案较大)
把无限循环小数化为分数
给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也很简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。例如，给定小数0.272727...，如何把它化为分数呢？我们可以先把它写成
1 x 0.272727... = 0.272727... (1)
由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：
100 x 0.272727... = 27.2727... (2)
接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，得
99 x 0.272727... = 27 (3)
接着把(3)化简，得
0.272727... = 3/11
当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需要多一点工夫。例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：
100 x 0.11345345... = 11.345345...
100000 x 0.11345345... = 11345.345...
99900 x 0.11345345... = 11334
0.11345345... = 11334/99900 = 1889/16650
利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。试把0.99...化为分数：
1 x 0.99... = 0.99...
10 x 0.99... = 9.99
9 x 0.99... = 9
0.99... = 1
于是，我们得到1的无限循环小数表达式除了是1.00...外，还可以是0.99...。事实上，我们可以证明，凡是「除得尽」的分数，除可表达为以无限个0结尾的循环小数外，还可表达为以无限个9结尾的循环小数。
是否存在无限不循环小数？
在以上的讨论中，我们在有理数(即分数)与无限循环小数间建立了一一对应关系。接着下来，我们要问，是否存在无限不循环小数？答案是肯定的，而且我们可以很容易地构造这样的小数。例如以下的小数便是无限不循环的：
0.101001000100001000001...
除了这些「人为」构造的数外，在中学我们还会学到很多这样的数，称为「无理数」(Irrational Number)(注3 )。例如，可以证明2的平方根、3的平方根、圆周率π、自然数底e等等都是无理数。事实上，从「集合论」( Set Theory)我们得知无理数的数目比有理数的数目多得多(注4)。不过由于本网页的主旨是有理数，笔者不在此讨论这些问题了。
注1：这里所指的循环并非指小数点后的所有数字均为循环数字，例如23/6的结果为3.8333...，这个小数的循环数字并不包含小数点后第1位的数字8。
注2：此一结果是初等数论(Number Theory)中著名的「除法演算Division Algorithm定理」。虽然我们在念小学和中学时不会正式学到数论的内容，但在我们进行无数次除法运算后，我们应能直观地自行「发现」此一定理。
注3：无理数的基本定义是不能表达为分数的实数。但由于在上面我们已看到分数等同于无限循环小数，所以我们可以得出以下结论：无理数就是无限不循环小数。
注4：套用集合论的说法，有理数集是「可数无穷集」(Countably Infinite Set)，而无理数集则是「不可数无穷集」(Uncountably Infinite Set)。

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