若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 06:17:59
若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2若a,b均为正实

若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2
若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2

若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2
x,y∈R
(x-y)2≥0
ab(x2+y2-2xy)≥0
1-a=b,1-b=a
abx2+bay2-2abxy≥0
a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy≥0
(ax2-a2x2)+(by2-b2y2)-2abxy≥0
ax2+by2-(a2x2+2abxy+b2y2)≥0
ax2+by2-(ax+by)2≥0
ax2+by2≥(ax+by)2

因为a+b=1,所以1-b=a,1-a=b,所以
ax²+by²-(ax+by)²
= ax²+by²-a²x²-b²y²-2abxy
= (a-a²)x²+(b-b²)y²-2abxy
=a (1-a)x²+b(1-b)y&s...

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因为a+b=1,所以1-b=a,1-a=b,所以
ax²+by²-(ax+by)²
= ax²+by²-a²x²-b²y²-2abxy
= (a-a²)x²+(b-b²)y²-2abxy
=a (1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy
=abx²+aby²-2abxy
=ab(x²+y²-2xy)
=ab(x-y)²
因为a、b均为正实数,所以上式恒为非负。当x=y时可以取到0,所以ab(x-y)² ≥0,即
ax²+by²-(ax+by)² ≥0,所以
ax²+by²≥(ax+by)²

收起

ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0

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ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)这里时只有当x=y时可以取到等号。

收起

因为b=1-a,所以
ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)

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因为b=1-a,所以
ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0(分析法)
证明:
ax^2+by^2≥(ax+by)^2
====>ax^2+by^2≥a^2x^2+b^2y^2+2abxy
====>ax^2-a^2x^2+by^2-b^2y^2≥2abxy
====>a(1-a)x^2+b(1-b)y^2≥2abxy 由 a+b=1 则
原式==abx^2+aby^2≥2abxy
====> x^2+y^2≥2xy
所以,
ax^2+by^2≥(ax+by)^2

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若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2 若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于(ax+by)². a,b,x,y∈正实数,且a/x+b/y=1,则x+y的最小值为( ) 已知x,y,a,b∈R,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值说错了 这些数都是正实数。 若a,b,x,y均为正实数,且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)^2/4 已知a,b,x,y∈{正实数},x,y为变数,a,b为常数,且a+b=10,a/x+b/y=1,x+y的最小值为18,求a.b. a,b,x,y均为正实数,a,b为常数,x,y为变数,且a/x+b/y=1,求:x+y的最小值(a/x)+(b/y)=1 已知a,b为正常数,x,y为正实数,且a/b+b/y=1,求x+y的最小值. 已知a、b为正常数,x、y为正实数,且a/x+b/y=1,则x+y得最小值为 已知a,b为正常数 x,y为正实数,且a/x+b/y=1,则x+y的最小值要有解题过程 不等式]已知a,b为正常数,x,y为正实数,且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值 已知函数y=f(x),满足:对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a).(1)试证明:f(x)为R上的增函数.(2)x、y为正实数,且4/x+9/y=4,比较f(x+y)与f(6)的大小. 已知函数f(x)=a*(b-a),其中向量a=(cosωx,0),b=(√3sinωx,10),且ω为正实数,(1已知函数f(x)=a*(b-a),其中向量a=(cosωx,0),b=(√3sinωx,10),且ω为正实数,(1)求f(x)的最大值(2)对任意m∈R,函数y=f(x),x∈[m,m+π)的图像 ■■■急!■■■已知函数f(x)=a*(b-a),其中向量a=(cosωx,0),b=(√3sinωx,10),且ω为正实数,已知函数f(x)=a*(b-a),其中向量a=(cosωx,0),b=(√3sinωx,10),且ω为正实数,(1)求f(x)的最大值(2)对任意m∈R,函数y=f(x),x (1):若a,b为正实数,且ab=1,则a+b的最小值是--------- (2):若x,y为正实数,且xy=6,则y+3x的最小值(1):若a,b为正实数,且ab=1,则a+b的最小值是---------(2):若x,y为正实数,且xy=6,则y+3x的最小值是———( 有关函数的一道证明题设函数y=f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)恒成立1.证明f(x)恒为正2.证明f(x)为增函数 急,已知a,b为两个正数,x,y为正实数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值 已知x,y,a,b,属于正实数,x,y为变数,a,b为常数,且a+b=10,a/x+b/y=1,x+y的最小值是10,求a,b急