四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,可以证明当AC⊥BD时,四边形ABCD的面积S=1/2mn,那么当AC,BD所夹的锐角为θ时,四边形ABCD的面积S=（ ） 用含m、n、θ的式子表示
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:24:01
四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,可以证明当AC⊥BD时,四边形ABCD的面积S=1/2mn,那么当AC,BD所夹的锐角为θ时,四边形ABCD的面积S=（ ） 用含m、n、θ的式子表示
四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,可以证明当AC⊥BD时,四边形ABCD的面积S=1/2mn,那么当AC,BD所夹的锐角为θ时,四边形ABCD的面积S=（ ）
用含m、n、θ的式子表示
四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,可以证明当AC⊥BD时,四边形ABCD的面积S=1/2mn,那么当AC,BD所夹的锐角为θ时,四边形ABCD的面积S=（ ） 用含m、n、θ的式子表示
证明：当AC垂直BD时
设AC和BD交于点O
设AO=x,则OC=m-x
S三角形ABD=1/2BD×AO=1/2nx
S三角形BCD=1/2BD×OC=1/2n(m-x)
S四边形ABCD=1/2nx+1/2n(m-x)=1/2mn
当AC,BD所夹的锐角为θ时
过点A作AE垂直BD于E,过C作CF垂直BD于F,设AO=x
AE=x×sinθ,CF=(m-x)sinθ
S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD=1/2×BD×AE+1/2×BD×CF
=1/2n(xsinθ+msinθ-xsinθ)=1/2mnsinθ
假设四边形为ABCD，对角线AC=m，BD=n，对角线夹角为α，由sin（180°-α）=sinα，我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα，
因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，
而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
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假设四边形为ABCD，对角线AC=m，BD=n，对角线夹角为α，由sin（180°-α）=sinα，我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα，
因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，
而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD；
S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD；
左右两边相加，得：
S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD
=0.5sinα（OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD）
=0.5sinα[OB*（OA+OC）+OD*（OA+OC）]
=0.5sinα（OA+OC）*（OB+OD）
=0.5sinα*m*n
=1/2*m*n*sinα
即四边形的面积为1/2*m*n*sinα
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这是一个基本公式，1/2mncos夹角。记住拉