高一空间几何体证明题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证：(1)B1D⊥平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心图应该想象得来吧紧急 具体点

高一空间几何体证明题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证：(1)B1D⊥平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心图应该想象得来吧紧急 具体点
高一空间几何体证明题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证：
(1)B1D⊥平面A1C1B;
(2)B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心
图应该想象得来吧
紧急 具体点

高一空间几何体证明题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证：(1)B1D⊥平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心图应该想象得来吧紧急 具体点
1）A1B⊥AB1
A1B⊥AD AD//A1D1 所以A1B⊥A1D1
AB1和AD是一个平面内的两条相交的线
所以A1B⊥平面ADB1;所以A1B⊥DB1
同理B1C⊥DB1
A1B和BC1是一个平面内的两条相交的线
所以B1D⊥平面A1C1B
2)设O1是平面A1B1C1D1的中心 立方体的棱长2
BO1与DB1垂直相交于H点
所以直角△BB1O1与直角△B1HO1相似
所以B1O1/O1H=BO1/B1O1
B1O1=根号2
BB1=2
BO1=根号6
所以得 O1H=（根号6）/3
所以O1H/BO1=1/4（这里就不用解释为什么1比4的时候是重心了吧?）
所以H是△A1C1B的重心

(1)连接B1D1
因为是正方体
所以四边形A1B1C1D1是正方形
所以A1C1⊥B1D1 DD1⊥平面A1B1C1D1
所以D1D⊥A1C1
所以A1C1⊥平面D1B1D
又因为A1C1属于平面A1C1B
所以平面A1C1B⊥平面D1B1D
又因为DB1属于平面D1B1D
所以B1D⊥平面A1C1B

(1);连结B1D1
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴四边形A1B1C1D1是正方形
∴A1C1⊥B1D1 DD1⊥平面A1B1C1D1
∴D1D⊥A1C1
∴A1C1⊥平面D1B1D
又∵A1C1属于平面A1C1B
∴平面A1C1B⊥平面D1B1D
又∵DB1属于平面D1B1D
∴B1D⊥平面A1C...

全部展开

(1);连结B1D1
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴四边形A1B1C1D1是正方形
∴A1C1⊥B1D1 DD1⊥平面A1B1C1D1
∴D1D⊥A1C1
∴A1C1⊥平面D1B1D
又∵A1C1属于平面A1C1B
∴平面A1C1B⊥平面D1B1D
又∵DB1属于平面D1B1D
∴B1D⊥平面A1C1B
(2)证明:∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴B1-A1C1B是正三棱锥,三角形A1BC1是正三角形
∵B1D⊥底面A1BC1
∴B1D与面A1BC1的交点H是A1BC1的重点

收起

A1B⊥AD AD//A1D1 所以A1B⊥A1D1
AB1和AD是一个平面内的两条相交的线
所以A1B⊥平面ADB1;所以A1B⊥DB1
同理B1C⊥DB1
A1B和BC1是一个平面内的两条相交的线
所以B1D⊥平面A1C1B
2)设O1是平面A1B1C1D1的中心 立方体的棱长2
BO1与DB1垂直相交于H点
所以...

全部展开

A1B⊥AD AD//A1D1 所以A1B⊥A1D1
AB1和AD是一个平面内的两条相交的线
所以A1B⊥平面ADB1;所以A1B⊥DB1
同理B1C⊥DB1
A1B和BC1是一个平面内的两条相交的线
所以B1D⊥平面A1C1B
2)设O1是平面A1B1C1D1的中心 立方体的棱长2
BO1与DB1垂直相交于H点
所以直角△BB1O1与直角△B1HO1相似
所以B1O1/O1H=BO1/B1O1
B1O1=根号2
BB1=2
BO1=根号6
所以得 O1H=（根号6）/3
所以O1H/BO1=1/4（这里就不用解释为什么1比4的时候是重心了吧？）
所以H是△A1C1B的重心
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴四边形A1B1C1D1是正方形
∴A1C1⊥B1D1 DD1⊥平面A1B1C1D1
∴D1D⊥A1C1
∴A1C1⊥平面D1B1D
又∵A1C1属于平面A1C1B
∴平面A1C1B⊥平面D1B1D
又∵DB1属于平面D1B1D
∴B1D⊥平面A1C1B
(2)证明:∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴B1-A1C1B是正三棱锥,三角形A1BC1是正三角形
∵B1D⊥底面A1BC1
∴B1D与面A1BC1的交点H是A1BC1的重点

收起

显然,B1-A1C1B构成正三棱锥（以正方体的棱为侧棱）
D-A1C1D亦构成正三棱锥（以正方体的面对角线为侧棱）
记棱锥底面三角形A1C1D的重心为H，
则B1H为正三棱锥B1-A1C1B的高，DH1为正三棱锥D-A1C1D的高
所以B1、D、H共线，两问皆得证。