p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证1.H为△ABC的垂心2.△ABC为锐角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 15:58:53
p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证1.H为△ABC的垂心2.△ABC为锐角三角形
p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证
1.H为△ABC的垂心
2.△ABC为锐角三角形
p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证1.H为△ABC的垂心2.△ABC为锐角三角形
1、证明:
由题意知
PA、PB、PC两两垂直.
所以
PA⊥平面PBC,
又
BC属于平面PBC.
所以
PA⊥BC,
因为
PH⊥平面ABC,
所以
AH是PA在平面ABC上的射影,
根据三垂线定理,得
AH⊥BC,
同理可得
BH⊥AC,
CH⊥AB,
所以H是△ABC的垂心.
2、这个问题可以划归到长方体里边解决,
PA、PB、PC两两垂直,
所以三线可以看作一个长方体的一个顶点的三条边.
容易看出
△ABC的每个角都小于直角,即90度.
所以
△ABC是锐角三角形.
PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA
所以PA⊥面BPC进一步推出PA⊥BC
因为AH为PA在三角形上的射影,根据射影定理得AH⊥BC
同理可得BH⊥AC,CH⊥AB
得证H为△ABC的垂心
设PA=a,PB=b,PC=c
AB^2=a^2+b^2，BC^2=b^2+c^2，CA^2=c^2+a^2
AB^2+BC^2-CA^2=2b^2>0<...
全部展开
PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA
所以PA⊥面BPC进一步推出PA⊥BC
因为AH为PA在三角形上的射影,根据射影定理得AH⊥BC
同理可得BH⊥AC,CH⊥AB
得证H为△ABC的垂心
设PA=a,PB=b,PC=c
AB^2=a^2+b^2，BC^2=b^2+c^2，CA^2=c^2+a^2
AB^2+BC^2-CA^2=2b^2>0
同理可以看出三角形ABC任意两边的平方和是大于第三边的平方的，显然这是锐角三角形才具有的特征
收起
PA⊥PB，PC⊥PA => PA⊥BC
PH⊥平面ABC于点H，PA⊥BC => AH⊥BC
以此类推，H为△ABC的垂心；
AC>AP，BC>BP => 角ACB<90度；
以此类推，.△ABC为锐角三角形