cosx+cosy=1,则sinx+siny的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 11:29:00
cosx+cosy=1,则sinx+siny的范围
cosx+cosy=1,则sinx+siny的范围
cosx+cosy=1,则sinx+siny的范围
令sinx+siny=α,
给两式子都平方再相加：
1＋α²=2sinxsiny+2cosycosx+cos²x+sin²x+cos²y+sin²y
1+α²=2sinxsiny+2cosycosx+2≤（sinX^2+sinY^2)+(CosY^2+cosX^2)+2
1+a^2≤(sinX^2+sinY^2+CosY^2+cosX^2)+2
a^2≤3
α为[-√3,﹢√3]
由已知cosx+cosy=2cos(x+y/2)cos(x-y/2)=1
得sinx+siny=2sin(x+y/2)cos(x-y/2)/1=2sin(x+y/2)cos(x-y/2)/2cos(x+y/2)cos(x-y/2)=tan(x+y/2)
所以sinx+siny的范围是一切实数
后面的加括号平方，套公式就行了
设sinx+siny=α，因为cosx+cosy=1，给两式子都平方再相加：2sinxsiny+2cosycosx+cos²x+sin²x+cos²y+sin²y=1＋α²
2cos（x-y）＋1=α²,2cos（x-y）的范围为（﹣2，+2），所以α²为[0,3﹚，α为（-√3，﹢√3）
令a=(x+y)/2,b=(x-y)/2,
有sinx+siny=sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb=1/2,
sina=1/(4*cosb),由于-1≤cosb≤1,
所以-1≤sina≤-1/4或1/4≤sina≤1,
所以-√15≤cota≤√15,
cosx+cosy=cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb=(2sina*cosb)*cota,
所以-(√15)/2≤cosx+cosy≤(√15)/2