如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/05 07:50:56
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,
交∠BCA的外角平分线于点F
当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
当点O运动到AC中点处,且△ABC满足∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形
证明:
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD
∴∠ACE=∠BCE ∠ACF=∠DCF
则∠ECF
=∠ACE+∠ACF
=1/2∠ACB+1/2∠ACD
=1/2(∠ACB+∠ACD)
=180°×1/2
=90°
又∵MN//BC
∴∠OEC=∠BCE=∠ACE
∠OFC=∠CDF=∠ACF
∴OE=OC=OF
若点O是AC中点
则OA=OC OE=OF
AC与EF互相平分
∴四边形AECF是平行四边形
而∠ECF=90°
∴平行四边形AECF是矩形
又∵∠ACB=90° MN//BC
∴∠AOE=∠ACB=90°
对角线互相垂直的矩形是正方形
∴四边形AECF是正方形
(1)∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,...
全部展开
(1)∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
(3)当点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
∵由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
收起
(1)证明:∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,(2分)
同理,FO=CO,(3分)
∴EO=FO.(4分)
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.(5分)
∵EO=FO,点O是AC的中点.
∴四边形AECF是平行四边形,(6分)
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(1)证明:∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,(2分)
同理,FO=CO,(3分)
∴EO=FO.(4分)
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.(5分)
∵EO=FO,点O是AC的中点.
∴四边形AECF是平行四边形,(6分)
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4=
1
2
×180°=90°.
即∠ECF=90度,(7分)
∴四边形AECF是矩形.(8分)
收起
(1)证明:∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又已知CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO;
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO...
全部展开
(1)证明:∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又已知CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO;
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又EO=CO,FO=CO,
∴四边形AECF为平行四边形,
又CE为∠ACB的平分线,CF为∠ACG的平分线,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠GCF,
∴∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠GCF=2(∠ACE+∠ACF)=180°,即∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形;
(3)当点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
∵由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
收起