关于高中必修一函数的概念已知函数f(x)的定义域为D=｛x|x≠0｝.且满足对于任意的x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性,并证明(3)如果f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,解关
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 21:42:04
关于高中必修一函数的概念已知函数f(x)的定义域为D=｛x|x≠0｝.且满足对于任意的x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性,并证明(3)如果f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,解关
关于高中必修一函数的概念
已知函数f(x)的定义域为D=｛x|x≠0｝.且满足对于任意的x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明
(3)如果f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,解关于x的不等式f(x+1)≤1/2+f(x-2).
关于高中必修一函数的概念已知函数f(x)的定义域为D=｛x|x≠0｝.且满足对于任意的x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性,并证明(3)如果f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,解关
(1)f(x)=f(1*x)=f(1)+f(x) 所以f(1)=0
(2)f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=0 所以f(-1)=0
那么f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)在定义域上为偶函数
(3)f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2) 则f(2)=1/2
因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(x)在定义域上为偶函数
所以f(x)在(-∞,0)上为减函数
不等式f(x+1)≤1/2+f(x-2)转化为f(x+1)≤f(2)+f(x-2)=f(2x-4）
a）当x+1＞0且2x-4＞0,即x＞2时,x+1≤2x-4 解出5≤x
b）当x+1＜0且2x-4＜0,即x＜-1时,x+1≥2x-4 解出x＜-1
c）当x+1＞0且2x-4＜0,即-1＜x＜2,（即4-2x＞0）
因为f(2x-4）=f(4-2x）,所以x+1≤4-2x 解出-1＜x≤1
所以该不等式的解为(-∞,-1)U（-1,1]U[5,+∞）
楼上的f（-1）=f（1）=0,是推不出f(x)为偶函数的.也许f（-1）=-f（1）=0呢
（1）：令X1=X2=1，则f（1*1）=f（1）=f（1）+f（1） 推出f（1）=0
（2）：令X1=X2=-1，则 f（-1*-1）=f（1）=0=2f（-1）故f（-1）=f（1）=0，所以为偶函数
（3）：由f（4）=f（2）+f（2）=1，所以f（2）=1／2，将其带入不等式中，不等式为：f（X）+f（1）小于等于f（2）+f（X-2）=f[2*（X-2）]
又...
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（1）：令X1=X2=1，则f（1*1）=f（1）=f（1）+f（1） 推出f（1）=0
（2）：令X1=X2=-1，则 f（-1*-1）=f（1）=0=2f（-1）故f（-1）=f（1）=0，所以为偶函数
（3）：由f（4）=f（2）+f（2）=1，所以f（2）=1／2，将其带入不等式中，不等式为：f（X）+f（1）小于等于f（2）+f（X-2）=f[2*（X-2）]
又f（x）在（0，正无穷）上单调增，所以推出f（X）小于等于f[2*（X-2）]，即X 小于等于2*（X-2），解得：X 大于等于4
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