如图所示,已知D为三角形ABC中的AB边上一点,DE平行BC交AC于E,EF平行AB交BC于F,而且三角形ADE的面积为S1,三角形EFC的面积为S2.若S1=1 ,S2=4.求S平行四边形EFBD.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 04:21:08
如图所示,已知D为三角形ABC中的AB边上一点,DE平行BC交AC于E,EF平行AB交BC于F,而且三角形ADE的面积为S1,三角形EFC的面积为S2.若S1=1 ,S2=4.求S平行四边形EFBD.
如图所示,已知D为三角形ABC中的AB边上一点,DE平行BC交AC于E,EF平行AB交BC于F,而且三角形ADE的面积为S1,三角形EFC的面积为S2.若S1=1 ,S2=4.求S平行四边形EFBD.
如图所示,已知D为三角形ABC中的AB边上一点,DE平行BC交AC于E,EF平行AB交BC于F,而且三角形ADE的面积为S1,三角形EFC的面积为S2.若S1=1 ,S2=4.求S平行四边形EFBD.
先由：三角形ADE∽三角形EFC
根据相似三角形的边长之比的平方＝面积之比
而：三角形ADE的面积S1＝1,三角形EFC的面积S2＝4
他们的面积之比为：S（ADE）/S（EFC)=S1/S2=1:4=1/4
故：DE/FC=根号（1/4）＝1/2
由DE＝BF（平行四边形对边相等）：BF/FC=1/2,FC＝2BF.(1)
过E做BC的垂线交BC于G点,不妨设EG＝h
h即是三角形FEC在FC边上的高,也是平行四边形EFBD在BC边上的高,所以它们的面积可以写成：
S（EFC）＝FC*h/2 将（1）代入得：S（EFC）＝2BF*h/2=BF*h
S(EFBD)=BF*h
可以看出两者相等,都等于BF*h,所以S(EFBD)=S（EFC）＝S2＝4
最终结果：
S(EFBD)＝4
三角形ADE~三角形EFC，所以他们的面积之比等于对应变长比的平方，即EC=2AE，BD=2AD。连DF，则S平行四边形EFBD=2S三角形BDF，同样的三角形BDF是三角形ADE面积的四倍，即S平行四边形EFBD=8
∵DE∥BC
∴∠C=∠AED
∵EF∥AB
∴∠A=科技CEF
∴△ADE∽△EFC
∵S1=1，S2=4
∴AE/EC=1/2
∴AE/AC=1/3
易得△ADE∽△ABC
∴S△ABC=9S△ADE=9
∴S平行四边形BDEF=9-1-4=4
本题主要是用到相似三角形面积比等于相似比的平方，由题意得S1/S2=4推出DE/FC=2；DE=BF；DE/BC=DE/(BF+FC)=1/3；S1/三角形ABC的面积=1/9；S=9-1-4=4
因DE平行BC，EF平行AB，
则三角形ADE相似于EFC，并相似于ABC；
因三角形EFC面积为三角形ADE面积的4倍，
则三角形EFC边长为三角形ADE边长的2倍，
则三角形ABC边长为三角形ADE边长的3倍，
因三角形ABC面积为三角形ADE面积的9倍，
四边形EFBD面积为9-1-4=4。...
全部展开
因DE平行BC，EF平行AB，
则三角形ADE相似于EFC，并相似于ABC；
因三角形EFC面积为三角形ADE面积的4倍，
则三角形EFC边长为三角形ADE边长的2倍，
则三角形ABC边长为三角形ADE边长的3倍，
因三角形ABC面积为三角形ADE面积的9倍，
四边形EFBD面积为9-1-4=4。
收起
因为平行 和共同角所以△ABC∽△ADE∽△EFC
S（四边形EFBD=△ABC-△ADE-△EFC）
相似三角形的的每条边的比的平方为面积比
所以知道S△ABC/S△ADE/S△EFC=9/1/4
所以答案是4