已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:33:55
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0
试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）,f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7,即f（x）不是奇函数.
即f（x）是周期函数,其周期T=2(7-2)=10
联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）
推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10）,T=10
又 f（1）= f（3）=0 ,而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数.
（Ⅱ）f（x）=f（x+10）,T=10
由f（4-x）= f（14-x）= f（x）
且闭区间[0,7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）= f（13）=f（-7）= f（-9）= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
而f(7－x)=f(7+x),函数f(x)在[4,7]上无根,∴函数f(x)在[7,10]上无根
∴f(x)=0在[0,10]上恰有两根为1和3,
由周期为10可知 f(x)=0的根为10n+1或10n+3的形式
所以 －2011≤10n+1≤2011 得－201.2≤n≤201,共403个
－2011≤10n+3≤2011 得－201.4≤n≤200.8,共402个
∴方程f(x)=0在在闭区间[－2011,2011]上的根的个数为805个