关于x的方程2sin(x+π/3)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根(1)求实数a的取值范围(2)求这两实根之和
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 10:39:09
关于x的方程2sin(x+π/3)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根(1)求实数a的取值范围(2)求这两实根之和
关于x的方程2sin(x+π/3)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根
(1)求实数a的取值范围(2)求这两实根之和
关于x的方程2sin(x+π/3)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根(1)求实数a的取值范围(2)求这两实根之和
这题不大好口述,我又不会画图,只能把意思尽量传递清楚
第1问：原方程可转化为：sin(x+π/3)=-a/2,由此可将题设条件用画图的语言转述出来：想要达到原题设条件,只要满足正弦函数y=sin(x+π/3)和直线函数y=-a/2在[0,2π]上有且只有两个不同的交点即可,y=sin(x+π/3)是由基本正弦函数y=sinx向X轴左移π/3个单位得来,楼主可自己画图明示,我在这里大致描述一下这个函数的一些关键点,即函数y=sin(x+π/3)在[0,2π]上与y轴交于（0,根号3/2）这个点,并且在π/6处取得最大值1,在7π/6处取得最小值-1,在2π/3和5π/3两个地方y值为0,即与x轴相交,并在2π处取值根号3/2.
直线函数y=-a/2即为一条平行于x轴的直线,它其上每一个点的纵坐标都为-a/2,由于a值不固定,故此直线函数为一束平行于x轴的直线束
现在考察直线函数与y=sin(x+π/3)的关系,后者是固定的,故只需通过画图观察即可确定a的范围,假设-a/2由很小开始变化,也就是从无限靠近坐标下方方位开始向y轴正方向上移,可以观察到,当直线与正弦函数相切于其波谷位置
（7π/6,-1）时,两者只有一个交点,此时-a/2=-1,得出a=2,不符合题设,继续直线y=-a/2的上移,只需稍微上移一个小量,使-a/2大于-1,就可使两者之间恰好有两个交点,继续上移,直至-a/2等于根号3/2,此时两者之间相交于3个点,故而在-a/2处于（-1,根号3/2）这个区间,满足切好有两个交点的条件,此时a的取值范围可由上述不等式得到为（-根号3,2）,而如果直线y=-a/2再继续上移,则直至y=1前仍然都和正弦函数有两个交点,而当-a/2=1时,只有一个交点,这段过程中-a/2满足区间（根号3/2,1）,得出a的取值范围是（-2,-根号3）,综上两种情况,当a属于（-2,-根号3）和（-根号3,2）这两个范围时,满足题设!
第2问,分成两种情况,当a取（-2,-根号3）这个范围时,由图可知,此时两个函数的交点恰好以x=π/6为对称轴位于其两侧,（无论a具体取哪个范围内的值都可以观察到这个结果,由图很容易辨别出!）,所以两个实根的和等于2倍的π/6,也就是π/3.
当a取（-根号3,2）时,同样可以看出两个交点分别对称的位于对称轴x=
7π/6的两侧,所以两个实根的和等于2倍的7π/6,也就是7π/3!
楼主,我不知你的水平如何,总之通过这道题,我希望你明白画图的重要性!有时候做题只需要画图就可很清晰的反映出结果,