已知在三角形ABC中,a,b,c成等差数列,公差d>0,最大角是最小角的2倍,则a:b:c=?5:6
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 05:28:24
已知在三角形ABC中,a,b,c成等差数列,公差d>0,最大角是最小角的2倍,则a:b:c=?5:6
已知在三角形ABC中,a,b,c成等差数列,公差d>0,最大角是最小角的2倍,则a:b:c=?
5:6
已知在三角形ABC中,a,b,c成等差数列,公差d>0,最大角是最小角的2倍,则a:b:c=?5:6
因为abc等差
所以2b=a+c
最大角为∠C最小角为∠A（大边对大角）
所以sinC=sin2A
由正弦定理得 a/sinA=c/sinC=c/sin2A=c/(2sinAcosA)
化简得2acosA=c
用余弦定理代入并化简（太难打了,过程不写了,就是简单地代入化简）
得ab^2-a^3+ac^2-bc^2=0
则c^2(a-b)-a(a^2-b^2)=0
则（a-b)(c^2-a(a-b))=0
因为ab不相等
所以c^2=a^2+ab
移向得 （c-a)(c+a)=ab
因为a+c=2b
所以2b(c-a)=ab
消去b并化简得 a/c=2/3
设a=2k c=3k 则b=2.5k
所以a:b:c=4:5:6
额滴神那累死了.
由正玄定理得
sinA/a=sinC/c
即sinA/a=2sinAcosA/c
∴cosA=c/2a
余玄定理得
cosA=[b^2+c^2-a^2]/2bc
=[(c+a)(c-a)+b^2]/2bc
又∵2b=a+c
∴c/2a=[2b(c-a)+b^2]/2bc
∴c/a=[2(c-a)+b]...
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由正玄定理得
sinA/a=sinC/c
即sinA/a=2sinAcosA/c
∴cosA=c/2a
余玄定理得
cosA=[b^2+c^2-a^2]/2bc
=[(c+a)(c-a)+b^2]/2bc
又∵2b=a+c
∴c/2a=[2b(c-a)+b^2]/2bc
∴c/a=[2(c-a)+b]/c
即2c^2+3a^2-5ac=0
(2c-3a)(c-a)=0
∴a=c(舍去）或c=3a/2
a:c=2:3=4:6
d=(c-a)/2=(3a/2-a)/2=a/4
b=a+d=a+a/4=5a/4
a:b=4:5
所以a:b:c=4:5:6
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先声明用到的公式（可以上网查）：
1、三倍角公式：sin3x=3sinx-4(sinx)3(立方)；
2、二倍角公式：sin2x=2sinxcosx
3、正弦定理：△ABC中，设顶点ABC对应的边为abc，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC
证明如下：
∵a,b,c成等差数列，公差d>0
∴a
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先声明用到的公式（可以上网查）：
1、三倍角公式：sin3x=3sinx-4(sinx)3(立方)；
2、二倍角公式：sin2x=2sinxcosx
3、正弦定理：△ABC中，设顶点ABC对应的边为abc，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC
证明如下：
∵a,b,c成等差数列，公差d>0
∴a
由此可设b=a+d，c=a+2d，∠A=x，∠C=2x，∠B=180-3x
由正弦定理知
a/sinx=（a+d）/sin（180-3x）=（a+2d）/sin2x
由诱导公式知sin（180-3x）=sin3x用三倍角公式打开、整理，
由等式a/sinx=（a+d）/sin（180-3x）解得d=（2-4（sinx）平方）a
代入（a+d）/sin（180-3x）=（a+2d）/sin2x整理得cosx=-1/2或cosx=3/4
【（cosx）平方=1-(sinx)平方】；
∵x为最小角，不可能为钝角∴cosx>0∴cosx=3/4
由（cosx）平方=1-(sinx)平方 得sinx=四分之根号七
代回三倍角公式和二倍角公式得sin2x=sinC=八分之三倍根号七
sin3x=sinB=十六分之五倍根号七
又sinA=sinx
正弦定理得到的式子a/sinA=b/sinB=c/sinC实际上可以写成
a:b:c=sinA：sinB：sinC，代入数字易得a:b:c=4:5:6
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