正弦定理为什么比值为2R?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:54:08
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正弦定理为什么比值为2R?
正弦定理为什么比值为2R?

正弦定理为什么比值为2R?
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 
作直径BD交⊙O于D. 
连接DA. 
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠ACB. 
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

圆O是⊿ABC的外接圆，BD为直径．

因为∠A=∠D，

从而　a/sinA=BC/sinD=2R

因为正弦定理是根据三角形的外接圆推出来的

这要从△ABC的外接圆⊙O说起。如图，过A作⊙O的直径AD，连接CD,则∠D=∠B，且∠ACD=90°，

那么AC/sinB=AC/sinD，在直角⊿ACD中，AC=ADsinD,，∴AC/sinD=AD=2R，就是BC/sinB=2R，或b/sinB=2R，这里2R是⊙O的直径。

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