三角恒等式证明设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c求证：tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]这个问题有一定难度
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 17:08:59
三角恒等式证明设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c求证：tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]这个问题有一定难度
三角恒等式证明
设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c
求证：
tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]
这个问题有一定难度
三角恒等式证明设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c求证：tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]这个问题有一定难度
就是麻烦
看到半角和a+b+c,S,一定会用到内切圆半径,及其面积公式
结合正弦定理,消除a,b,c等,转换到纯三角函数关系式证明上去
由于没有进行整理,直接按照这个思路推倒的,估计还可以化简
你再去研究吧
利用角平分线
三角形内切圆半径r
r/tanA/2+r/tanB/2=c,(c*tanA/2*tanB/2)/(tanA/2+tanB/2)=r
r=(b*tanA/2*tanC/2)/(tanA/2+tanC/2)=(atanB/2tanC/2)/(tanB/2+tanC/2)
S=0.5r(a+b+c)
r^3=abc(tanA/2tanB/2tanC/2)^2/(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)
(2S)^3(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)/[abc*(a+b+c)^3]
=(tanA/2tanB/2tanC/2)^2
欲证原等式成立,即证以下等式成立：
2S^2(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)/abc(a+b+c)=Z
=tanA/2tanB/2tanC/2
tanA/2+tanB/2=(sinA/2cosB/2+sinB/2cosA/2)/cosA/2cosB/2
=sin(A/2+B/2)/cosA/2cosB/2=cosC/2/cosA/2cosB/2
(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)
=1/cosA/2cosB/2cosC/2
S^2=0.25ab^2csinCsinA=abc*bsinA/2cosA/2sinC/2cosC/2
Z=(2bsinA/2sinC/2)/[(a+b+c)cosB/2]
=4sinA/2sinB/2sinC/2)/(sinA+sinB+sinC)
进一步,只要证明：
4cosA/2cosB/2cosC/2=sinA+sinB+sinC
sinA+sinB+sinC
=2[sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sinC/2cosC/2]
=2cosC/2[cos(A/2-B/2)+cos(A/2+B/2)]
=4cosA/2cosB/2cosC/2
以上步步可逆,所以
tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]成立