已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)（I）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.（II）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:08:06
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)（I）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.（II）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)
（I）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.
（II）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
（III）在（II）的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别为与f(x)的图像和g(x)的图像交S、T点,以S为切点f(x)的切线l1,以T为切点作g(x)的切线l2,是否存在实数a使得l1‖l2,如果存在,求处a的值,若果不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)（I）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.（II）若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
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(1)设P坐标(lnx0,x0)
有：lnx0=ax0^2-x0
又：f'(x0)=1/x0=g'(x0)=2ax0-1 => 2ax0^2-x0=1
代入前式，得：
2lnx0=1-x0 => x0=1 (函数2lnx与1-x从图像看只有一个交点)
所以，a=1，P点坐标为(0,1)
(2)根据上一题，(1)中描述的是两图像相切的状态，这...
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(1)设P坐标(lnx0,x0)
有：lnx0=ax0^2-x0
又：f'(x0)=1/x0=g'(x0)=2ax0-1 => 2ax0^2-x0=1
代入前式，得：
2lnx0=1-x0 => x0=1 (函数2lnx与1-x从图像看只有一个交点)
所以，a=1，P点坐标为(0,1)
(2)根据上一题，(1)中描述的是两图像相切的状态，这时两图像仅有一个交点。
要想有两个交点，很简单，只需将抛物线g(x)与x轴的右交点（左交点是固定的，永远是原点0,0）再往右移动即可。
而g(x)与x轴的右交点的坐标是(0,1/a)，所以0
(3)设MN的中点为U，M,N的横坐标分别为x1,x2，U的横坐标为(x1+x2)/2
对于任意抛物线来说，有这样一个命题成立：
抛物线上任意两点MN的连线，其中点U映射到抛物线上的点T，则过T点作抛物线的切线，这条切线必与MN平行。（这个命题的证明不难，自己证一下吧）
所以，我们只要找到一个MN的中点U，使其映射到f(x)=lnx上的点S的切线l1与MN平行即可，能找到这样的点吗？
M,N的坐标分别为(lnx1,x1),(lnx2,x2)
MN的斜率=ln(x1/x2)/(x1-x2)
l1的斜率=f'[(x1+x2)/2]=2/(x1+x2)
两个斜率要相等，则：
ln(x1/x2)=2(x1-x2)/(x1+x2)=2-4/(x1/x2+1)
容易看出，当x1/x2=1时，等式是成立。此时x1=x2，不合题意，舍去。
问题是：这个方程还有没有其它解？
令：z=x1/x2
则：lnz=2-4/(z+1)
令F(z)=lnz，G(z)=2-4/(z+1)
F'(z)=1/z，G'(z)=4/(z+1)^2
F'(z)-G'(z)=(z-1)^2/[z(z+1)^2]>=0 (x1和x2均>0)
即，当z≠1时，恒有F'(z)>G'(z)
从而证明了两函数只有一个交点，即原式只有唯一z=x1/x2=1
故证明了这样的a是不存在的。
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tal_wang 第二题的解答不严谨。有错误。