若(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1,求证:见问题补充求证:[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]^2009+[(c^2+a^2-b^2)/(2ca)]^2009+[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2009=1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:03:58
若(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1,求证:见问题补充求证:[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]^2009+[(c^2+a^2-b^2)/(2ca)]^2009+[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2009=1
若(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1,求证:见问题补充
求证:[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]^2009+[(c^2+a^2-b^2)/(2ca)]^2009+[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2009=1
若(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1,求证:见问题补充求证:[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]^2009+[(c^2+a^2-b^2)/(2ca)]^2009+[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2009=1
证明：
(a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2）/2ac=1,
c(a^2+b^2-c^2)+a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2abc,
c(a^2+b^2-c^2)+2abc+a(b^2+c^2-a^2)-2abc+b(a^2+c^2-b^2)-2abc=0
c(a^2+2ab+b^2-c^2)+a(b^2-2ab+c^2-a^2)+b(a^2-2ab+c^2-b^2)=0
整理并因式分解得(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=0,
即上面三式中至少有一个为0,
不妨设a+b-c=0,即a+b=c,则
(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1,(c^2+a^2-b^2)/(2ca)=1,(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=-1
故等式左边=1^2009+1^2009+(-1)^2009
=1+1-1=1=右边
同理,假设a-b+c=0 或 b+c-a=0
可证明左边＝右边
证毕