利用完全平方证明a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0中的a=b=c的推理过程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 21:03:47
利用完全平方证明a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0中的a=b=c的推理过程
利用完全平方证明a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0中的a=b=c的推理过程
利用完全平方证明a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0中的a=b=c的推理过程
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
因为(a-b)^2>=0 (b-c)^2>=0 (c-a)^2>=0
所以(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0
所以a-b=b-c=c-a=0
所以a=b=c
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=0
(1/2)((a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac))=0
(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)=0
(a-b)^2>=0,(b-c)^2>=0,(a-c)^2>=0
所以 a=b,b=c,c=a
a=b=c
（a-b）^2 + (b-c)^2+ (a-c)^2 =0 ;乘以2
所以 a=b,b=c,c=a;
a=b=c
a²+b²+c²-ab-ac-bc=1/2[2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc]=1/2[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]=0
因此：(a-b)²=0 a=b
(a-c)²=0 a=c
(b-c)²=0 b=c
所以 a=b=c
方程等号两侧同乘2得 a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc=0 即(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0得a=b=c