已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在两点关于直线l:y=kx+4对称,求实数k 的取值范围why?

已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在两点关于直线l:y=kx+4对称,求实数k 的取值范围why?
已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称
已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在两点关于直线l:y=kx+4对称,求实数k 的取值范围
why?

已知双曲线x^2-y^2/3=1 存在 y=kx+4 对称已知双曲线x^2-y^2/3=1,其上存在两点关于直线l:y=kx+4对称,求实数k 的取值范围why?
x^2-y^2/3=1
3x^2-y^2-3=0
假设两点坐标是(x1,y1),(x2,y2)
则(1)过这两点的直线垂直于y=kx+4(2)这两点的中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]在y=kx+4
所以(1)(y2-y1)/(x2-x1)=-1/k就是y2-y1=-(x2-x1)/k
(2)(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+4就是y1+y2=k(x1+x2)+8
两式左右分别相乘得到
y2^2-y1^2=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k
又因为3x^2-y^2-3=0所以y^2=3x^2-3
所以y1^2=3x1^2-3
y2^2=3x2^2-3带入上面的式子
(3x2^2-3)-(3x1^2-3)=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k
4(x2^2-x1^2)=-8(x2-x1)/k
所以x2-x1=0或者x2+x1=-2/k
x2-x1=0则y1+y2=0这两点只能关于x轴对称,而y=kx+4不可能是x轴
所以只能x2+x1=-2/k所以x2=-x1-2/k
所以y1+y2=k(x1+x2)+8=6所以y2=6-y1
所以(6-y1)^2=3(-x1-2/k)^2-3
且y1^2=3x1^2-3
两式相减整理得到
-y1=x1/k+1/k^2-3
两边平方并把y1^2=3x1^2-3带入得到
(3-1/k^2)x1^2+[2*(3-1/k^2)/k]x1-(3-1/k^2)^2-3=0
要这个方程有两个不同的解则
△>0所以(1/k^2-3)(2/k^2-9)>0
则两个括号或同为正或同为负
若同为正则k^2

k>4

设关于L对称的两个双曲线上的点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
则根据对称的定义，可知：线段PQ被直线L垂直平分
由PQ⊥L
可知kPQ=-1/kL=-1/k
因此可设直线PQ的方程为：y=(-1/k)*x+b
联立直线PQ与双曲线：3x^-y^=1的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：
(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0...

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设关于L对称的两个双曲线上的点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
则根据对称的定义，可知：线段PQ被直线L垂直平分
由PQ⊥L
可知kPQ=-1/kL=-1/k
因此可设直线PQ的方程为：y=(-1/k)*x+b
联立直线PQ与双曲线：3x^-y^=1的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：
(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0
（当3k^-1=0，即k=±√3/3时，方程为一元一次方程，说明直线PQ与双曲线只有一个交点，必然不可能满足存在对称点的条件，故k=±√3/3不符合题意 ，k≠±√3/3，3k^-1≠0 ）
此方程的两个实根必为P，Q这两个直线PQ与双曲线交点的横坐标x1,x2
由韦达定理有：
x1+x2=-2bk/(3k^-1) ①
而此方程要有两个不等的实根x1,x2，必然要使：
△=(2bk)^-4*(3k^-1)*[-(b^+3)k^]>0
化简后即：k^b^+（3k^-1）>0 ②
P,Q两点代入所设的直线PQ的方程有：
y1=(-1/k)x1+b
y2=(-1/k)x2+b
于是：
y1+y2=(-1/k)*(x1+x2)+2b
将①代入：
y1+y2=6bk^/(3k^-1) ③
由刚才已知的L是线段PQ的中垂线，可知，PQ的中点M必在直线L上，而PQ中点M根据中点坐标公式可得：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
代入①，③式，可得：
M（-bk/(3k^-1),3bk^/(3k^-1)）
而M点在直线L:y=kx+4上，可将其带入方程两侧替换x,y的位置，进行化简，并最终可得到关于k和b的关系式为：
bk^=3k^-1
当k=0时，显然等式不成立，故k不能为0，k≠0 ※
∴有:b=(3k^-1)/k^ ④
将其带入②，并作出化简，最终可得：
(3k^-1)(4k^-1)>0
<=>k^>1/3或k^<1/4
<=>k>√3/3或k<-√3/3或-1/2结合※式：k≠0，最终可得到k的取值范围是：
k∈(-∞，-√3/3)∪(-1/2，0)∪(0，1/2)∪(√3/3，+∞)

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