已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 05:33:03
已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
f(a+b)-(a+b)ln2=2f[(a+b)/2]
f(x)'=lnx+1
f(x)''=1/x
由题意得x>0
∴f(x)''>0
∴f(x)是下凸函数
根据中值定理,下凸函数[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
∴f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
得证
证明：
∵当x>0时，f''(x)=1/x>0，
∴f(x)在(0,＋∞）上是凹函数
1）当a≠b时， 不妨设a
即
[alna+blnb]/2>[(a+b)/2 ]×ln[(a+b)/2]，整理得：
alna+blnb>(a+b)ln[(a+b)/2]=(a+b)ln(a+b)-(...
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证明：
∵当x>0时，f''(x)=1/x>0，
∴f(x)在(0,＋∞）上是凹函数
1）当a≠b时， 不妨设a
即
[alna+blnb]/2>[(a+b)/2 ]×ln[(a+b)/2]，整理得：
alna+blnb>(a+b)ln[(a+b)/2]=(a+b)ln(a+b)-(a+b)ln2
即f(a)+f(b)>f(a+b)-(a+b)ln2
2）当a＝b时，
f(a)+f(b)=2f(a)=2alna
f(a+b)-(a+b)ln2=f(2a)-2aln2=2aln(2a)-2aln2=2aln(2a/2)=2alna
故f(a)+f(b)=f(a+b)-(a+b)ln2
于是由1）2）可得：
f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
证毕
收起