已知函数f(x)=x/lnx,(x大于0,x不等于1）（1）求函数f(x)的极值（2）若不等式e^(x/a)大于x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 05:11:24
已知函数f(x)=x/lnx,(x大于0,x不等于1）（1）求函数f(x)的极值（2）若不等式e^(x/a)大于x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x/lnx,(x大于0,x不等于1）（1）求函数f(x)的极值
（2）若不等式e^(x/a)大于x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x/lnx,(x大于0,x不等于1）（1）求函数f(x)的极值（2）若不等式e^(x/a)大于x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围
(1)f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²
lnx=1 x=e 时 f'(x)=0
x>e f'(x)>0 f(x)递增
0
(2)对不等式e^(x/a)>x
两边取自然对数
ln[e^(x/a)]>ln...
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(1)f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²
lnx=1 x=e 时 f'(x)=0
x>e f'(x)>0 f(x)递增
0
(2)对不等式e^(x/a)>x
两边取自然对数
ln[e^(x/a)]>lnx
x/a*lne>lnx
x/a>lnx
若a>0
则x/lnx>a
a
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2>0
lnx-1>0
lnx>1
x>e
所以f(x)在x=e处取得最小值
f(x)min=f(e)=e
a
所以0
a>x/lnx 因为f(x)在（e,正无穷）上单调递增，没有最大值，所以a>x/lnx不恒成立
所以a<0时无解
又因为a不等于0
所以综上所述0
收起
对fx求导令导函数等于零求出x=e为极小值
解答过程：
①：
求导f(x)'=-1/(lnx)^2+/lnx------可求其单调性
易知：当x=e时：
f(x）取最小值，值为e：
②：
由题意得：
必有a>0-----(取a<0，可知不会恒成立)
即有：
x/e^(x/a)<1恒成立
取对数：lnx-lne^(x/a)<0-------原因：ln(x/e^(x...
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解答过程：
①：
求导f(x)'=-1/(lnx)^2+/lnx------可求其单调性
易知：当x=e时：
f(x）取最小值，值为e：
②：
由题意得：
必有a>0-----(取a<0，可知不会恒成立)
即有：
x/e^(x/a)<1恒成立
取对数：lnx-lne^(x/a)<0-------原因：ln(x/e^(x/a))
由①得：a小于或等于e ，且a大于0.
收起
1.
f'=1/lnx-1/(lnx)^2=0,lnx=1,x=e
当x
2.
a!=0
若a<0,e^(1/a)<1矛盾
所以，a>0
e^(x/a)>x化为x/a>lnx
在0
在x>1上，a