一道高二不等式证明,难a,b∈(0,1) 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥(a+b)/(1-ab)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 01:52:37
一道高二不等式证明,难a,b∈(0,1) 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥(a+b)/(1-ab)
一道高二不等式证明,难
a,b∈(0,1) 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥(a+b)/(1-ab)
一道高二不等式证明,难a,b∈(0,1) 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥(a+b)/(1-ab)
左=(A+B)(1-AB)/(1-a^2)(1-b^2)
把不等式左边通分得
(1-ab)(a+b)/(1-a^2)(1-b^2)>=(a+b)(1-ab)
即(1-a^2)(1-b^2)<=1
由于a,b∈(0,1),所以最后一个不等式成立。
证明:设a=tanα,b=tanβ
a/(1-a^2)=tanα/(1-tanα^2)=sinαcosα/(cosα^2-sinα^2)
=1/2sin(2α)/cos(2α)=1/2tan(2α)
同理b/(1-b^2)≥1/2tan(2β)
(a+b)/(1-ab)=tan(α+β)
1/2tan(2...
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证明:设a=tanα,b=tanβ
a/(1-a^2)=tanα/(1-tanα^2)=sinαcosα/(cosα^2-sinα^2)
=1/2sin(2α)/cos(2α)=1/2tan(2α)
同理b/(1-b^2)≥1/2tan(2β)
(a+b)/(1-ab)=tan(α+β)
1/2tan(2α)+1/2tan(2β)=1/2(sin(2α)/cos(2α)+sin(2β)/cos(2β))
=1/2*(sin(2α)cos(2β)+sin(2β)cos(2α))/(cos(2α)*cos(2β))
=1/2sin(2α+2β)/(cos(2α)*cos(2β))
=sin(α+β)*cos(α+β)/(cos(2α)*cos(2β))-------(1)
又cos(2α)*cos(2β)=1/2(cos(2α-2β)+cos(2α+2β))
cos(2α-2β)<=1
=>1/2(cos(2α-2β)+cos(2α+2β))>=1/2(1+cos(2α+2β))=(cos(α+β))^2
将上式代入(1)便可得结论
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将不等式两边相减,经通分化简后为:a/(1-a²)+b/(1-b²)-(a+b)/(1-ab)=(a+b)(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)].
已知a,b∈(0,1),故(a+b)(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)]≥0,
则a/(1-a²)+b/(1-b...
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将不等式两边相减,经通分化简后为:a/(1-a²)+b/(1-b²)-(a+b)/(1-ab)=(a+b)(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)].
已知a,b∈(0,1),故(a+b)(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)]≥0,
则a/(1-a²)+b/(1-b²)-(a+b)/(1-ab)≥0,
从而证得:a/(1-a²)+b/(1-b²)≥(a+b)/(1-ab).
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