设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 16:58:08
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
见图
解1：
∵f(x)=-a√(x^2+1)+x+a，
∴f(x)’=ax/√(x^2+1)+1
若要f(x)是增函数，需要f(x)’＞0
即：ax/√(x^2+1)+1＞0
ax/√(x^2+1)＞-1
ax＞-√(x^2+1)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-[√(x^2+1)]/x
a＞-√[(x^2+1)/x^2]
a...
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解1：
∵f(x)=-a√(x^2+1)+x+a，
∴f(x)’=ax/√(x^2+1)+1
若要f(x)是增函数，需要f(x)’＞0
即：ax/√(x^2+1)+1＞0
ax/√(x^2+1)＞-1
ax＞-√(x^2+1)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-[√(x^2+1)]/x
a＞-√[(x^2+1)/x^2]
a＞-√(1+1/x^2)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-√2
即：x∈(-√2,∞)
解2：
f(x)”=a[(a+1)x^2+1]/[(x^2+1)^(3/2)]
令f(x)”=0
即：a[(a+1)x^2+1]/[(x^2+1)^(3/2)]=0
(a+1)x^2+1=0
(a+1)x^2=-1
x^2=-1/(a+1)
x=√[-1/(a+1)]
f(x)的极值为：
f(x)=-a√[-1/(a+1)+1]+√[-1/(a+1)]+a
=-a√[a/(a+1)]+√[-1/(a+1)]+a
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