设函数f(x)=根号下(x2+1),F(x)=f(x)-ax(a>0)单调性
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 07:22:10
设函数f(x)=根号下(x2+1),F(x)=f(x)-ax(a>0)单调性
设函数f(x)=根号下(x2+1),F(x)=f(x)-ax(a>0)单调性
设函数f(x)=根号下(x2+1),F(x)=f(x)-ax(a>0)单调性
设任意x1>x2>0,则:
F(x1)-F(x2)=√(x1²+1)-ax1-√(x²+1)+ax2
=(x1²-x2²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a]<0
又因为x1>x2>0,即x1-x2>0,
所以(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))-a<0
x1+x2<a(√(x1²+1)+√(x2²+1))
a>(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1))
因为(√(x1²+1)+√(x2²+1))>x1+x2>0
所以0<(x1+x2)/(√(x1²+1)+√(x2²+1)<1
即当a≥1时,a>(x1+x2)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
此时f(x)在[0,+∞)上是减函数
F'(x)=(x-a根号下(x2+1))/(x2+1),分母为根式,恒大于零,分子上根号下(x2+1)大于等于x的绝对值,又a>0,令x=a根号下(x2+1),得x=根号下a^2/(1-a^2)如果a>根号下a^2/(1-a^2),则x-a根号下(x2+1)小于零,所以分式恒小于零,所以是减函数 ;如果a<根号下a^2/(1-a^2),则当x<根号下a^2/(1-a^2)时减,在x>根号下a^2/...
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F'(x)=(x-a根号下(x2+1))/(x2+1),分母为根式,恒大于零,分子上根号下(x2+1)大于等于x的绝对值,又a>0,令x=a根号下(x2+1),得x=根号下a^2/(1-a^2)如果a>根号下a^2/(1-a^2),则x-a根号下(x2+1)小于零,所以分式恒小于零,所以是减函数 ;如果a<根号下a^2/(1-a^2),则当x<根号下a^2/(1-a^2)时减,在x>根号下a^2/(1-a^2)时增
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