已知AC、BD为圆O：X平方+Y平方=4的两条弦,垂足为M（1,根号2）,则四边形ABCD的面积的最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 19:31:41
已知AC、BD为圆O：X平方+Y平方=4的两条弦,垂足为M（1,根号2）,则四边形ABCD的面积的最大值为?
已知AC、BD为圆O：X平方+Y平方=4的两条弦,垂足为M（1,根号2）,则四边形ABCD的面积的最大值为?
已知AC、BD为圆O：X平方+Y平方=4的两条弦,垂足为M（1,根号2）,则四边形ABCD的面积的最大值为?
想到一个不用解析法的方法来求解:如图:AC丄BD于M,OE丄AC于E,OF丄BD于F AC=2√(4-OE^2) BD=2√(4-OF^2) 四边形ABCD最大值即为AC*BD/2 而OE^2+OF^2=OM^2=(1^2+(√2)^2)=3 所以AC*BD=2√((1+OE^2)(4-OE^2)) =2√(-(OE^2-1.5)^2+6.25)
想象一下 如果两条互相垂直的弦并不分别与两条互相垂直的坐标轴平行，我们可以将坐标轴旋转适当的角度，使得其中一条弦平行于x轴，另一条弦平行于y轴。 而这两条弦的交点的轨迹是x+y=3； 不妨设这个交点为（√3Cosθ，√3Sinθ）(θ∈[0,2π)) 平行于x轴的弦的长度为a=2√(2-(√3Cosθ)) 同理：平行于y轴的弦的长度为b=2√(2-(√3Sinθ)) ab=4√(4-3Cosθ)...
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想象一下 如果两条互相垂直的弦并不分别与两条互相垂直的坐标轴平行，我们可以将坐标轴旋转适当的角度，使得其中一条弦平行于x轴，另一条弦平行于y轴。 而这两条弦的交点的轨迹是x+y=3； 不妨设这个交点为（√3Cosθ，√3Sinθ）(θ∈[0,2π)) 平行于x轴的弦的长度为a=2√(2-(√3Cosθ)) 同理：平行于y轴的弦的长度为b=2√(2-(√3Sinθ)) ab=4√(4-3Cosθ)(4-3Sinθ) =4√(16-12(Sinθ+Cosθ)+9SinθCosθ) =4√(4+9/4(2SinθCosθ)) =4√(4+9/4Sin2θ) ≤4√(4+9/4*1)(当θ=π/4，3π/4，5π/4，7π/4时等号成立) =10 四边形ABCD的面积S=1/2(AM*MB+BM*MC+CM*MD+DM*MA) =1/2(AM+MC)(BM*MD) =1/2*AC*BD =1/2ab =5
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