斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围（O为坐标原点）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:12:29
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围（O为坐标原点）
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围（O为坐标原点）
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围（O为坐标原点）
直线方程为：y=2x+m,
代入椭圆方程,x^2/4+(2x+m)^2=1,
17x^2+16mx+4m^2-4=0,
要使直线和椭圆相交（切）,则△≥0,
-√17≤m≤√17,
当m=±√17时,直线和椭圆相切,即只有一个交点,A和B重合,
y=2x±√17,
代入椭圆方程,17x^2±16√17x+64=0,
(√17x±8)^2=0,
x=±8/√17,
y=±16,/√17,
|OA|=|OB|=8√85/17,
|OA|*|OB|=320/17,此时乘积为最大,即直线和椭圆相切时,A和B重合,共有两个点,
当直线经过原点时,|OA|*|OB|为最小,
y=2x,
x^2/4+(2x)^2=1,
x=±2/√17,
y=±4/√17,
|OA|=|OB|=2√85/17,
|OA|*|OB|=20/17,
当A、B无限趋近切点时,|OA|≈|OB|,
∴20/17≤|OA|*|OB＜320/17.
设直线y=2x+b
求极限与椭圆线切也就是只有一个焦点
带入椭圆17/4x^2+4bx+b^2-1=0
有一个根
16b^2=4*17/4(b^2-1)=0
b=正负根17
在三角形oa小b上求得
oa^2+4oa^2=17
oa=根17/5
ob与oa对称
所|OA||OB|最大开区间为17/5
最小闭区间为...
全部展开
设直线y=2x+b
求极限与椭圆线切也就是只有一个焦点
带入椭圆17/4x^2+4bx+b^2-1=0
有一个根
16b^2=4*17/4(b^2-1)=0
b=正负根17
在三角形oa小b上求得
oa^2+4oa^2=17
oa=根17/5
ob与oa对称
所|OA||OB|最大开区间为17/5
最小闭区间为0
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设直线是y=2x＋t，代入椭圆x²＋4y²=4中，化简得：17x²＋16tx＋4(t²－1)=0
1、判别式大于0，即：(16t)²－4×17×4×(t²－1)>0，得：0
=5(x1x...
全部展开
设直线是y=2x＋t，代入椭圆x²＋4y²=4中，化简得：17x²＋16tx＋4(t²－1)=0
1、判别式大于0，即：(16t)²－4×17×4×(t²－1)>0，得：0
=5(x1x2)＋2t(x1＋x2)＋t²
=[20(t²－1)]/(17)－[32t²]/(17)
=(1/17)[－12t²－12]
其中t²∈(0，17)，则：OA*OB∈(－(216)/(17)，－(12)/(17)]
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